Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12573 / 12436
↖ ↑ ↗
← S 67.776026°
E 96.262207°		 ← 924.09 m → S 67.776026°
E 96.284180°		 →
↑
923.92 m
↓
↑
923.92 m
↓
S 67.784335°
E 96.262207°		 ← 923.76 m →
853 638 m²		 S 67.784335°
E 96.284180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767425537109375 y=0.759063720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767425537109375 × 214)
    floor (0.767425537109375 × 16384)
    floor (12573.5)     		tx = 12573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759063720703125 × 214)
    floor (0.759063720703125 × 16384)
    floor (12436.5)     		ty = 12436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12573 / 12436 ti = "14/12573/12436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12573/12436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12573 ÷ 214
    12573 ÷ 16384     		x = 0.76739501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12436 ÷ 214
    12436 ÷ 16384     		y = 0.759033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76739501953125 × 2 - 1) × π
    0.5347900390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.68009246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759033203125 × 2 - 1) × π
    -0.51806640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62755361590015
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68009246} λ = 1.68009246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62755361590015))-π/2
    2×atan(0.196409479899325)-π/2
    2×0.193940764928947-π/2
    0.387881529857893-1.57079632675     		φ = -1.18291480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68009246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.262207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18291480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.776026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12573 KachelY 12436 1.68009246 -1.18291480 96.262207 -67.776026
    Oben rechts KachelX + 1 12574 KachelY 12436 1.68047595 -1.18291480 96.284180 -67.776026
    Unten links KachelX 12573 KachelY + 1 12437 1.68009246 -1.18305982 96.262207 -67.784335
    Unten rechts KachelX + 1 12574 KachelY + 1 12437 1.68047595 -1.18305982 96.284180 -67.784335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18291480--1.18305982) × R
    0.00014501999999994 × 6371000     		dl = 923.922419999619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18291480--1.18305982) × R
    0.00014501999999994 × 6371000     		dr = 923.922419999619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68009246-1.68047595) × cos(-1.18291480) × R
    0.000383489999999931 × 0.378228168399366 × 6371000     		do = 924.092655027774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68009246-1.68047595) × cos(-1.18305982) × R
    0.000383489999999931 × 0.378093917609967 × 6371000     		du = 923.764651513546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18291480)-sin(-1.18305982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378228168399366-0.378093917609967)×R²
    abs(1.68047595-1.68009246)×0.00013425078939866×R²
    0.000383489999999931×0.00013425078939866×6371000²
    0.000383489999999931×0.00013425078939866×40589641000000     		ar = 853638.39873334m²