Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12572 / 12670
↖ ↑ ↗
← S 69.641804°
E 96.240234°		 ← 849.99 m → S 69.641804°
E 96.262207°		 →
↑
849.83 m
↓
↑
849.83 m
↓
S 69.649446°
E 96.240234°		 ← 849.68 m →
722 213 m²		 S 69.649446°
E 96.262207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767364501953125 y=0.773345947265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767364501953125 × 214)
    floor (0.767364501953125 × 16384)
    floor (12572.5)     		tx = 12572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773345947265625 × 214)
    floor (0.773345947265625 × 16384)
    floor (12670.5)     		ty = 12670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12572 / 12670 ti = "14/12572/12670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12572/12670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12572 ÷ 214
    12572 ÷ 16384     		x = 0.767333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12670 ÷ 214
    12670 ÷ 16384     		y = 0.7733154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767333984375 × 2 - 1) × π
    0.53466796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67970896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7733154296875 × 2 - 1) × π
    -0.546630859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.71729149198889
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67970896} λ = 1.67970896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71729149198889))-π/2
    2×atan(0.17955180741706)-π/2
    2×0.177658777459642-π/2
    0.355317554919284-1.57079632675     		φ = -1.21547877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67970896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.240234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21547877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.641804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12572 KachelY 12670 1.67970896 -1.21547877 96.240234 -69.641804
    Oben rechts KachelX + 1 12573 KachelY 12670 1.68009246 -1.21547877 96.262207 -69.641804
    Unten links KachelX 12572 KachelY + 1 12671 1.67970896 -1.21561216 96.240234 -69.649446
    Unten rechts KachelX + 1 12573 KachelY + 1 12671 1.68009246 -1.21561216 96.262207 -69.649446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21547877--1.21561216) × R
    0.000133390000000011 × 6371000     		dl = 849.82769000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21547877--1.21561216) × R
    0.000133390000000011 × 6371000     		dr = 849.82769000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67970896-1.68009246) × cos(-1.21547877) × R
    0.000383500000000092 × 0.347888103718606 × 6371000     		do = 849.987524221645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67970896-1.68009246) × cos(-1.21561216) × R
    0.000383500000000092 × 0.347763042688718 × 6371000     		du = 849.68196529613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21547877)-sin(-1.21561216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347888103718606-0.347763042688718)×R²
    abs(1.68009246-1.67970896)×0.000125061029888629×R²
    0.000383500000000092×0.000125061029888629×6371000²
    0.000383500000000092×0.000125061029888629×40589641000000     		ar = 722213.099090861m²