Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12570 / 12695
↖ ↑ ↗
← S 69.832048°
E 96.196289°		 ← 842.38 m → S 69.832048°
E 96.218262°		 →
↑
842.18 m
↓
↑
842.18 m
↓
S 69.839622°
E 96.196289°		 ← 842.07 m →
709 307 m²		 S 69.839622°
E 96.218262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767242431640625 y=0.774871826171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767242431640625 × 214)
    floor (0.767242431640625 × 16384)
    floor (12570.5)     		tx = 12570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774871826171875 × 214)
    floor (0.774871826171875 × 16384)
    floor (12695.5)     		ty = 12695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12570 / 12695 ti = "14/12570/12695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12570/12695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12570 ÷ 214
    12570 ÷ 16384     		x = 0.7672119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12695 ÷ 214
    12695 ÷ 16384     		y = 0.77484130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7672119140625 × 2 - 1) × π
    0.534423828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67894197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77484130859375 × 2 - 1) × π
    -0.5496826171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.7268788719129
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67894197} λ = 1.67894197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7268788719129))-π/2
    2×atan(0.177838601723077)-π/2
    2×0.175998585336715-π/2
    0.351997170673429-1.57079632675     		φ = -1.21879916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67894197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.196289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21879916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.832048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12570 KachelY 12695 1.67894197 -1.21879916 96.196289 -69.832048
    Oben rechts KachelX + 1 12571 KachelY 12695 1.67932547 -1.21879916 96.218262 -69.832048
    Unten links KachelX 12570 KachelY + 1 12696 1.67894197 -1.21893135 96.196289 -69.839622
    Unten rechts KachelX + 1 12571 KachelY + 1 12696 1.67932547 -1.21893135 96.218262 -69.839622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21879916--1.21893135) × R
    0.000132189999999976 × 6371000     		dl = 842.18248999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21879916--1.21893135) × R
    0.000132189999999976 × 6371000     		dr = 842.18248999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67894197-1.67932547) × cos(-1.21879916) × R
    0.000383500000000092 × 0.344773206344636 × 6371000     		do = 842.376962438116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67894197-1.67932547) × cos(-1.21893135) × R
    0.000383500000000092 × 0.344649118428257 × 6371000     		du = 842.073781099916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21879916)-sin(-1.21893135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344773206344636-0.344649118428257)×R²
    abs(1.67932547-1.67894197)×0.000124087916379467×R²
    0.000383500000000092×0.000124087916379467×6371000²
    0.000383500000000092×0.000124087916379467×40589641000000     		ar = 709307.461771252m²