Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12570 / 12504
↖ ↑ ↗
← S 68.334376°
E 96.196289°		 ← 902.03 m → S 68.334376°
E 96.218262°		 →
↑
901.88 m
↓
↑
901.88 m
↓
S 68.342487°
E 96.196289°		 ← 901.71 m →
813 379 m²		 S 68.342487°
E 96.218262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767242431640625 y=0.763214111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767242431640625 × 214)
    floor (0.767242431640625 × 16384)
    floor (12570.5)     		tx = 12570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763214111328125 × 214)
    floor (0.763214111328125 × 16384)
    floor (12504.5)     		ty = 12504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12570 / 12504 ti = "14/12570/12504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12570/12504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12570 ÷ 214
    12570 ÷ 16384     		x = 0.7672119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12504 ÷ 214
    12504 ÷ 16384     		y = 0.76318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7672119140625 × 2 - 1) × π
    0.534423828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67894197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76318359375 × 2 - 1) × π
    -0.5263671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.65363128929346
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67894197} λ = 1.67894197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65363128929346))-π/2
    2×atan(0.191353784522702)-π/2
    2×0.189068237170689-π/2
    0.378136474341379-1.57079632675     		φ = -1.19265985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67894197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.196289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19265985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.334376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12570 KachelY 12504 1.67894197 -1.19265985 96.196289 -68.334376
    Oben rechts KachelX + 1 12571 KachelY 12504 1.67932547 -1.19265985 96.218262 -68.334376
    Unten links KachelX 12570 KachelY + 1 12505 1.67894197 -1.19280141 96.196289 -68.342487
    Unten rechts KachelX + 1 12571 KachelY + 1 12505 1.67932547 -1.19280141 96.218262 -68.342487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19265985--1.19280141) × R
    0.000141559999999874 × 6371000     		dl = 901.878759999197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19265985--1.19280141) × R
    0.000141559999999874 × 6371000     		dr = 901.878759999197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67894197-1.67932547) × cos(-1.19265985) × R
    0.000383500000000092 × 0.369189238265422 × 6371000     		do = 902.0321282855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67894197-1.67932547) × cos(-1.19280141) × R
    0.000383500000000092 × 0.369057675180288 × 6371000     		du = 901.710683028199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19265985)-sin(-1.19280141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369189238265422-0.369057675180288)×R²
    abs(1.67932547-1.67894197)×0.000131563085133735×R²
    0.000383500000000092×0.000131563085133735×6371000²
    0.000383500000000092×0.000131563085133735×40589641000000     		ar = 813378.666371398m²