Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1257 / 1779
↖ ↑ ↗
← N 70.801366°
W124.760742°		 ← 1 606.89 m → N 70.801366°
W124.716797°		 →
↑
1 607.53 m
↓
↑
1 607.53 m
↓
N 70.786910°
W124.760742°		 ← 1 608.06 m →
2 584 068 m²		 N 70.786910°
W124.716797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.15350341796875 y=0.21722412109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.15350341796875 × 213)
    floor (0.15350341796875 × 8192)
    floor (1257.5)     		tx = 1257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21722412109375 × 213)
    floor (0.21722412109375 × 8192)
    floor (1779.5)     		ty = 1779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1257 / 1779 ti = "13/1257/1779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1257/1779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1257 ÷ 213
    1257 ÷ 8192     		x = 0.1534423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1779 ÷ 213
    1779 ÷ 8192     		y = 0.2171630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1534423828125 × 2 - 1) × π
    -0.693115234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.17748573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2171630859375 × 2 - 1) × π
    0.565673828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.77711674271472
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.17748573} λ = -2.17748573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77711674271472))-π/2
    2×atan(5.91278374115972)-π/2
    2×1.40325664123571-π/2
    2.80651328247142-1.57079632675     		φ = 1.23571696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.17748573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.760742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23571696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.801366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1257 KachelY 1779 -2.17748573 1.23571696 -124.760742 70.801366
    Oben rechts KachelX + 1 1258 KachelY 1779 -2.17671874 1.23571696 -124.716797 70.801366
    Unten links KachelX 1257 KachelY + 1 1780 -2.17748573 1.23546464 -124.760742 70.786910
    Unten rechts KachelX + 1 1258 KachelY + 1 1780 -2.17671874 1.23546464 -124.716797 70.786910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23571696-1.23546464) × R
    0.000252319999999973 × 6371000     		dl = 1607.53071999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23571696-1.23546464) × R
    0.000252319999999973 × 6371000     		dr = 1607.53071999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.17748573--2.17671874) × cos(1.23571696) × R
    0.000766989999999801 × 0.328844123657694 × 6371000     		do = 1606.89460370884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.17748573--2.17671874) × cos(1.23546464) × R
    0.000766989999999801 × 0.329082400211873 × 6371000     		du = 1608.05894049199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23571696)-sin(1.23546464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328844123657694-0.329082400211873)×R²
    abs(-2.17671874--2.17748573)×0.00023827655417874×R²
    0.000766989999999801×0.00023827655417874×6371000²
    0.000766989999999801×0.00023827655417874×40589641000000     		ar = 2584068.3065464m²