Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12569 / 12694
↖ ↑ ↗
← S 69.824471°
E 96.174317°		 ← 842.66 m → S 69.824471°
E 96.196289°		 →
↑
842.56 m
↓
↑
842.56 m
↓
S 69.832048°
E 96.174317°		 ← 842.35 m →
709 866 m²		 S 69.832048°
E 96.196289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767181396484375 y=0.774810791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767181396484375 × 214)
    floor (0.767181396484375 × 16384)
    floor (12569.5)     		tx = 12569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774810791015625 × 214)
    floor (0.774810791015625 × 16384)
    floor (12694.5)     		ty = 12694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12569 / 12694 ti = "14/12569/12694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12569/12694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12569 ÷ 214
    12569 ÷ 16384     		x = 0.76715087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12694 ÷ 214
    12694 ÷ 16384     		y = 0.7747802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76715087890625 × 2 - 1) × π
    0.5343017578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67855848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7747802734375 × 2 - 1) × π
    -0.549560546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72649537671594
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67855848} λ = 1.67855848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72649537671594))-π/2
    2×atan(0.177906815051578)-π/2
    2×0.176064706672074-π/2
    0.352129413344148-1.57079632675     		φ = -1.21866691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67855848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.174317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21866691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.824471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12569 KachelY 12694 1.67855848 -1.21866691 96.174317 -69.824471
    Oben rechts KachelX + 1 12570 KachelY 12694 1.67894197 -1.21866691 96.196289 -69.824471
    Unten links KachelX 12569 KachelY + 1 12695 1.67855848 -1.21879916 96.174317 -69.832048
    Unten rechts KachelX + 1 12570 KachelY + 1 12695 1.67894197 -1.21879916 96.196289 -69.832048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21866691--1.21879916) × R
    0.000132250000000056 × 6371000     		dl = 842.564750000356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21866691--1.21879916) × R
    0.000132250000000056 × 6371000     		dr = 842.564750000356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67855848-1.67894197) × cos(-1.21866691) × R
    0.000383489999999931 × 0.344897344554807 × 6371000     		do = 842.658293247878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67855848-1.67894197) × cos(-1.21879916) × R
    0.000383489999999931 × 0.344773206344636 × 6371000     		du = 842.354996936786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21866691)-sin(-1.21879916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344897344554807-0.344773206344636)×R²
    abs(1.67894197-1.67855848)×0.00012413821017021×R²
    0.000383489999999931×0.00012413821017021×6371000²
    0.000383489999999931×0.00012413821017021×40589641000000     		ar = 709866.401830412m²