Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12568 / 14583
↖ ↑ ↗
← N 19.404430°
W 41.923828°		 ← 1 152.25 m → N 19.404430°
W 41.912842°		 →
↑
1 152.26 m
↓
↑
1 152.26 m
↓
N 19.394068°
W 41.923828°		 ← 1 152.32 m →
1 327 729 m²		 N 19.394068°
W 41.912842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14583 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383560180664062 y=0.445053100585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383560180664062 × 215)
    floor (0.383560180664062 × 32768)
    floor (12568.5)     		tx = 12568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445053100585938 × 215)
    floor (0.445053100585938 × 32768)
    floor (14583.5)     		ty = 14583
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12568 / 14583 ti = "15/12568/14583"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12568/14583.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12568 ÷ 215
    12568 ÷ 32768     		x = 0.383544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14583 ÷ 215
    14583 ÷ 32768     		y = 0.445037841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383544921875 × 2 - 1) × π
    -0.23291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.73170884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445037841796875 × 2 - 1) × π
    0.10992431640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.345337424862885
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73170884} λ = -0.73170884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.345337424862885))-π/2
    2×atan(1.41246644056318)-π/2
    2×0.954733764214684-π/2
    1.90946752842937-1.57079632675     		φ = 0.33867120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73170884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.923828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33867120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.404430°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12568 KachelY 14583 -0.73170884 0.33867120 -41.923828 19.404430
    Oben rechts KachelX + 1 12569 KachelY 14583 -0.73151709 0.33867120 -41.912842 19.404430
    Unten links KachelX 12568 KachelY + 1 14584 -0.73170884 0.33849034 -41.923828 19.394068
    Unten rechts KachelX + 1 12569 KachelY + 1 14584 -0.73151709 0.33849034 -41.912842 19.394068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33867120-0.33849034) × R
    0.000180860000000005 × 6371000     		dl = 1152.25906000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33867120-0.33849034) × R
    0.000180860000000005 × 6371000     		dr = 1152.25906000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73170884--0.73151709) × cos(0.33867120) × R
    0.000191750000000046 × 0.94319697073069 × 6371000     		do = 1152.24643992599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73170884--0.73151709) × cos(0.33849034) × R
    0.000191750000000046 × 0.943257043157337 × 6371000     		du = 1152.31982676022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33867120)-sin(0.33849034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94319697073069-0.943257043157337)×R²
    abs(-0.73151709--0.73170884)×6.0072426646407e-05×R²
    0.000191750000000046×6.0072426646407e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.0072426646407e-05×40589641000000     		ar = 1327728.6836991m²