Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12567 / 12502
↖ ↑ ↗
← S 68.318146°
E 96.130371°		 ← 902.65 m → S 68.318146°
E 96.152344°		 →
↑
902.45 m
↓
↑
902.45 m
↓
S 68.326262°
E 96.130371°		 ← 902.33 m →
814 455 m²		 S 68.326262°
E 96.152344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767059326171875 y=0.763092041015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767059326171875 × 214)
    floor (0.767059326171875 × 16384)
    floor (12567.5)     		tx = 12567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763092041015625 × 214)
    floor (0.763092041015625 × 16384)
    floor (12502.5)     		ty = 12502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12567 / 12502 ti = "14/12567/12502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12567/12502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12567 ÷ 214
    12567 ÷ 16384     		x = 0.76702880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12502 ÷ 214
    12502 ÷ 16384     		y = 0.7630615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76702880859375 × 2 - 1) × π
    0.5340576171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67779149
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7630615234375 × 2 - 1) × π
    -0.526123046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.65286429889954
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67779149} λ = 1.67779149}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65286429889954))-π/2
    2×atan(0.191500607335917)-π/2
    2×0.189209869939897-π/2
    0.378419739879794-1.57079632675     		φ = -1.19237659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67779149} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.130371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19237659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.318146°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12567 KachelY 12502 1.67779149 -1.19237659 96.130371 -68.318146
    Oben rechts KachelX + 1 12568 KachelY 12502 1.67817498 -1.19237659 96.152344 -68.318146
    Unten links KachelX 12567 KachelY + 1 12503 1.67779149 -1.19251824 96.130371 -68.326262
    Unten rechts KachelX + 1 12568 KachelY + 1 12503 1.67817498 -1.19251824 96.152344 -68.326262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19237659--1.19251824) × R
    0.000141649999999993 × 6371000     		dl = 902.452149999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19237659--1.19251824) × R
    0.000141649999999993 × 6371000     		dr = 902.452149999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67779149-1.67817498) × cos(-1.19237659) × R
    0.000383490000000153 × 0.369452472333197 × 6371000     		do = 902.651744606893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67779149-1.67817498) × cos(-1.19251824) × R
    0.000383490000000153 × 0.369320840417385 × 6371000     		du = 902.330139563344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19237659)-sin(-1.19251824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369452472333197-0.369320840417385)×R²
    abs(1.67817498-1.67779149)×0.00013163191581228×R²
    0.000383490000000153×0.00013163191581228×6371000²
    0.000383490000000153×0.00013163191581228×40589641000000     		ar = 814454.892401162m²