Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12565 / 12330
↖ ↑ ↗
← S 66.878345°
E 96.086426°		 ← 959.41 m → S 66.878345°
E 96.108398°		 →
↑
959.28 m
↓
↑
959.28 m
↓
S 66.886972°
E 96.086426°		 ← 959.07 m →
920 185 m²		 S 66.886972°
E 96.108398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766937255859375 y=0.752593994140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766937255859375 × 214)
    floor (0.766937255859375 × 16384)
    floor (12565.5)     		tx = 12565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752593994140625 × 214)
    floor (0.752593994140625 × 16384)
    floor (12330.5)     		ty = 12330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12565 / 12330 ti = "14/12565/12330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12565/12330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12565 ÷ 214
    12565 ÷ 16384     		x = 0.76690673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12330 ÷ 214
    12330 ÷ 16384     		y = 0.7525634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76690673828125 × 2 - 1) × π
    0.5338134765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67702450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7525634765625 × 2 - 1) × π
    -0.505126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.58690312502234
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67702450} λ = 1.67702450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58690312502234))-π/2
    2×atan(0.204558122756762)-π/2
    2×0.201774503763069-π/2
    0.403549007526137-1.57079632675     		φ = -1.16724732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67702450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.086426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16724732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.878345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12565 KachelY 12330 1.67702450 -1.16724732 96.086426 -66.878345
    Oben rechts KachelX + 1 12566 KachelY 12330 1.67740799 -1.16724732 96.108398 -66.878345
    Unten links KachelX 12565 KachelY + 1 12331 1.67702450 -1.16739789 96.086426 -66.886972
    Unten rechts KachelX + 1 12566 KachelY + 1 12331 1.67740799 -1.16739789 96.108398 -66.886972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16724732--1.16739789) × R
    0.000150569999999961 × 6371000     		dl = 959.281469999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16724732--1.16739789) × R
    0.000150569999999961 × 6371000     		dr = 959.281469999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67702450-1.67740799) × cos(-1.16724732) × R
    0.000383490000000153 × 0.39268473472587 × 6371000     		do = 959.413151689855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67702450-1.67740799) × cos(-1.16739789) × R
    0.000383490000000153 × 0.392546255089161 × 6371000     		du = 959.074816193333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16724732)-sin(-1.16739789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39268473472587-0.392546255089161)×R²
    abs(1.67740799-1.67702450)×0.000138479636709488×R²
    0.000383490000000153×0.000138479636709488×6371000²
    0.000383490000000153×0.000138479636709488×40589641000000     		ar = 920184.980741458m²