Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12564 / 12509
↖ ↑ ↗
← S 68.374900°
E 96.064453°		 ← 900.43 m → S 68.374900°
E 96.086426°		 →
↑
900.29 m
↓
↑
900.29 m
↓
S 68.382996°
E 96.064453°		 ← 900.10 m →
810 496 m²		 S 68.382996°
E 96.086426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766876220703125 y=0.763519287109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766876220703125 × 214)
    floor (0.766876220703125 × 16384)
    floor (12564.5)     		tx = 12564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763519287109375 × 214)
    floor (0.763519287109375 × 16384)
    floor (12509.5)     		ty = 12509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12564 / 12509 ti = "14/12564/12509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12564/12509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12564 ÷ 214
    12564 ÷ 16384     		x = 0.766845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12509 ÷ 214
    12509 ÷ 16384     		y = 0.76348876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766845703125 × 2 - 1) × π
    0.53369140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67664100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76348876953125 × 2 - 1) × π
    -0.5269775390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65554876527826
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67664100} λ = 1.67664100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65554876527826))-π/2
    2×atan(0.190987219788129)-π/2
    2×0.188714596643137-π/2
    0.377429193286273-1.57079632675     		φ = -1.19336713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67664100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.064453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19336713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.374900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12564 KachelY 12509 1.67664100 -1.19336713 96.064453 -68.374900
    Oben rechts KachelX + 1 12565 KachelY 12509 1.67702450 -1.19336713 96.086426 -68.374900
    Unten links KachelX 12564 KachelY + 1 12510 1.67664100 -1.19350844 96.064453 -68.382996
    Unten rechts KachelX + 1 12565 KachelY + 1 12510 1.67702450 -1.19350844 96.086426 -68.382996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19336713--1.19350844) × R
    0.000141310000000061 × 6371000     		dl = 900.286010000389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19336713--1.19350844) × R
    0.000141310000000061 × 6371000     		dr = 900.286010000389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67664100-1.67702450) × cos(-1.19336713) × R
    0.00038349999999987 × 0.368531832309707 × 6371000     		do = 900.425902447608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67664100-1.67702450) × cos(-1.19350844) × R
    0.00038349999999987 × 0.36840046471671 × 6371000     		du = 900.10493483204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19336713)-sin(-1.19350844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368531832309707-0.36840046471671)×R²
    abs(1.67702450-1.67664100)×0.000131367592997422×R²
    0.00038349999999987×0.000131367592997422×6371000²
    0.00038349999999987×0.000131367592997422×40589641000000     		ar = 810496.363038084m²