Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12564 / 12347
↖ ↑ ↗
← S 67.024587°
E 96.064453°		 ← 953.70 m → S 67.024587°
E 96.086426°		 →
↑
953.55 m
↓
↑
953.55 m
↓
S 67.033163°
E 96.064453°		 ← 953.36 m →
909 238 m²		 S 67.033163°
E 96.086426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766876220703125 y=0.753631591796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766876220703125 × 214)
    floor (0.766876220703125 × 16384)
    floor (12564.5)     		tx = 12564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753631591796875 × 214)
    floor (0.753631591796875 × 16384)
    floor (12347.5)     		ty = 12347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12564 / 12347 ti = "14/12564/12347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12564/12347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12564 ÷ 214
    12564 ÷ 16384     		x = 0.766845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12347 ÷ 214
    12347 ÷ 16384     		y = 0.75360107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766845703125 × 2 - 1) × π
    0.53369140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67664100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75360107421875 × 2 - 1) × π
    -0.5072021484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.59342254337067
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67664100} λ = 1.67664100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59342254337067))-π/2
    2×atan(0.203228860494465)-π/2
    2×0.200498296842275-π/2
    0.400996593684551-1.57079632675     		φ = -1.16979973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67664100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.064453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16979973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.024587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12564 KachelY 12347 1.67664100 -1.16979973 96.064453 -67.024587
    Oben rechts KachelX + 1 12565 KachelY 12347 1.67702450 -1.16979973 96.086426 -67.024587
    Unten links KachelX 12564 KachelY + 1 12348 1.67664100 -1.16994940 96.064453 -67.033163
    Unten rechts KachelX + 1 12565 KachelY + 1 12348 1.67702450 -1.16994940 96.086426 -67.033163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16979973--1.16994940) × R
    0.00014966999999988 × 6371000     		dl = 953.547569999233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16979973--1.16994940) × R
    0.00014966999999988 × 6371000     		dr = 953.547569999233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67664100-1.67702450) × cos(-1.16979973) × R
    0.00038349999999987 × 0.39033607520509 × 6371000     		do = 953.699740322657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67664100-1.67702450) × cos(-1.16994940) × R
    0.00038349999999987 × 0.390198273788991 × 6371000     		du = 953.363053085433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16979973)-sin(-1.16994940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39033607520509-0.390198273788991)×R²
    abs(1.67702450-1.67664100)×0.000137801416098593×R²
    0.00038349999999987×0.000137801416098593×6371000²
    0.00038349999999987×0.000137801416098593×40589641000000     		ar = 909237.547943169m²