Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12564 / 12344
↖ ↑ ↗
← S 66.998844°
E 96.064453°		 ← 954.71 m → S 66.998844°
E 96.086426°		 →
↑
954.50 m
↓
↑
954.50 m
↓
S 67.007428°
E 96.064453°		 ← 954.37 m →
911 113 m²		 S 67.007428°
E 96.086426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766876220703125 y=0.753448486328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766876220703125 × 214)
    floor (0.766876220703125 × 16384)
    floor (12564.5)     		tx = 12564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753448486328125 × 214)
    floor (0.753448486328125 × 16384)
    floor (12344.5)     		ty = 12344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12564 / 12344 ti = "14/12564/12344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12564/12344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12564 ÷ 214
    12564 ÷ 16384     		x = 0.766845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12344 ÷ 214
    12344 ÷ 16384     		y = 0.75341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766845703125 × 2 - 1) × π
    0.53369140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67664100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75341796875 × 2 - 1) × π
    -0.5068359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.59227205777979
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67664100} λ = 1.67664100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59227205777979))-π/2
    2×atan(0.203462806920307)-π/2
    2×0.200722953807751-π/2
    0.401445907615503-1.57079632675     		φ = -1.16935042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67664100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.064453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16935042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.998844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12564 KachelY 12344 1.67664100 -1.16935042 96.064453 -66.998844
    Oben rechts KachelX + 1 12565 KachelY 12344 1.67702450 -1.16935042 96.086426 -66.998844
    Unten links KachelX 12564 KachelY + 1 12345 1.67664100 -1.16950024 96.064453 -67.007428
    Unten rechts KachelX + 1 12565 KachelY + 1 12345 1.67702450 -1.16950024 96.086426 -67.007428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16935042--1.16950024) × R
    0.000149820000000078 × 6371000     		dl = 954.503220000498m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16935042--1.16950024) × R
    0.000149820000000078 × 6371000     		dr = 954.503220000498m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67664100-1.67702450) × cos(-1.16935042) × R
    0.00038349999999987 × 0.390749703126382 × 6371000     		do = 954.710348529749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67664100-1.67702450) × cos(-1.16950024) × R
    0.00038349999999987 × 0.390611789885647 × 6371000     		du = 954.373388073797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16935042)-sin(-1.16950024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390749703126382-0.390611789885647)×R²
    abs(1.67702450-1.67664100)×0.000137913240734866×R²
    0.00038349999999987×0.000137913240734866×6371000²
    0.00038349999999987×0.000137913240734866×40589641000000     		ar = 911113.28862386m²