Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12563 / 14581
↖ ↑ ↗
← N 19.425154°
W 41.978760°		 ← 1 152.04 m → N 19.425154°
W 41.967774°		 →
↑
1 152.13 m
↓
↑
1 152.13 m
↓
N 19.414792°
W 41.978760°		 ← 1 152.11 m →
1 327 343 m²		 N 19.414792°
W 41.967774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383407592773438 y=0.444992065429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383407592773438 × 215)
    floor (0.383407592773438 × 32768)
    floor (12563.5)     		tx = 12563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444992065429688 × 215)
    floor (0.444992065429688 × 32768)
    floor (14581.5)     		ty = 14581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12563 / 14581 ti = "15/12563/14581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12563/14581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12563 ÷ 215
    12563 ÷ 32768     		x = 0.383392333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14581 ÷ 215
    14581 ÷ 32768     		y = 0.444976806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383392333984375 × 2 - 1) × π
    -0.23321533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.73266757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444976806640625 × 2 - 1) × π
    0.11004638671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.345720920059845
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73266757} λ = -0.73266757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.345720920059845))-π/2
    2×atan(1.41300821853698)-π/2
    2×0.954914608443727-π/2
    1.90982921688745-1.57079632675     		φ = 0.33903289
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73266757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.978760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33903289 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.425154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12563 KachelY 14581 -0.73266757 0.33903289 -41.978760 19.425154
    Oben rechts KachelX + 1 12564 KachelY 14581 -0.73247583 0.33903289 -41.967774 19.425154
    Unten links KachelX 12563 KachelY + 1 14582 -0.73266757 0.33885205 -41.978760 19.414792
    Unten rechts KachelX + 1 12564 KachelY + 1 14582 -0.73247583 0.33885205 -41.967774 19.414792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33903289-0.33885205) × R
    0.00018083999999996 × 6371000     		dl = 1152.13163999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33903289-0.33885205) × R
    0.00018083999999996 × 6371000     		dr = 1152.13163999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73266757--0.73247583) × cos(0.33903289) × R
    0.000191739999999996 × 0.94307674329974 × 6371000     		do = 1152.0394819578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73266757--0.73247583) × cos(0.33885205) × R
    0.000191739999999996 × 0.943136870775797 × 6371000     		du = 1152.11293221183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33903289)-sin(0.33885205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94307674329974-0.943136870775797)×R²
    abs(-0.73247583--0.73266757)×6.01274760569925e-05×R²
    0.000191739999999996×6.01274760569925e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.01274760569925e-05×40589641000000     		ar = 1327343.4534907m²