Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12562 / 14514
↖ ↑ ↗
← N 20.117840°
W 41.989746°		 ← 1 147.10 m → N 20.117840°
W 41.978760°		 →
↑
1 147.10 m
↓
↑
1 147.10 m
↓
N 20.107524°
W 41.989746°		 ← 1 147.18 m →
1 315 884 m²		 N 20.107524°
W 41.978760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383377075195312 y=0.442947387695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383377075195312 × 215)
    floor (0.383377075195312 × 32768)
    floor (12562.5)     		tx = 12562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442947387695312 × 215)
    floor (0.442947387695312 × 32768)
    floor (14514.5)     		ty = 14514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12562 / 14514 ti = "15/12562/14514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12562/14514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12562 ÷ 215
    12562 ÷ 32768     		x = 0.38336181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14514 ÷ 215
    14514 ÷ 32768     		y = 0.44293212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38336181640625 × 2 - 1) × π
    -0.2332763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73285932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44293212890625 × 2 - 1) × π
    0.1141357421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.35856800915802
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73285932} λ = -0.73285932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.35856800915802))-π/2
    2×atan(1.43127836885497)-π/2
    2×0.960959433362776-π/2
    1.92191886672555-1.57079632675     		φ = 0.35112254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73285932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.989746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35112254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.117840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12562 KachelY 14514 -0.73285932 0.35112254 -41.989746 20.117840
    Oben rechts KachelX + 1 12563 KachelY 14514 -0.73266757 0.35112254 -41.978760 20.117840
    Unten links KachelX 12562 KachelY + 1 14515 -0.73285932 0.35094249 -41.989746 20.107524
    Unten rechts KachelX + 1 12563 KachelY + 1 14515 -0.73266757 0.35094249 -41.978760 20.107524
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35112254-0.35094249) × R
    0.000180049999999987 × 6371000     		dl = 1147.09854999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35112254-0.35094249) × R
    0.000180049999999987 × 6371000     		dr = 1147.09854999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73285932--0.73266757) × cos(0.35112254) × R
    0.000191749999999935 × 0.938987204573575 × 6371000     		do = 1147.10362435447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73285932--0.73266757) × cos(0.35094249) × R
    0.000191749999999935 × 0.939049117924235 × 6371000     		du = 1147.17926013373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35112254)-sin(0.35094249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938987204573575-0.939049117924235)×R²
    abs(-0.73266757--0.73285932)×6.19133506590819e-05×R²
    0.000191749999999935×6.19133506590819e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.19133506590819e-05×40589641000000     		ar = 1315884.28859783m²