Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12562 / 12695
↖ ↑ ↗
← S 69.832048°
E 96.020508°		 ← 842.38 m → S 69.832048°
E 96.042481°		 →
↑
842.18 m
↓
↑
842.18 m
↓
S 69.839622°
E 96.020508°		 ← 842.07 m →
709 307 m²		 S 69.839622°
E 96.042481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766754150390625 y=0.774871826171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766754150390625 × 214)
    floor (0.766754150390625 × 16384)
    floor (12562.5)     		tx = 12562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774871826171875 × 214)
    floor (0.774871826171875 × 16384)
    floor (12695.5)     		ty = 12695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12562 / 12695 ti = "14/12562/12695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12562/12695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12562 ÷ 214
    12562 ÷ 16384     		x = 0.7667236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12695 ÷ 214
    12695 ÷ 16384     		y = 0.77484130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7667236328125 × 2 - 1) × π
    0.533447265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67587401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77484130859375 × 2 - 1) × π
    -0.5496826171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.7268788719129
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67587401} λ = 1.67587401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7268788719129))-π/2
    2×atan(0.177838601723077)-π/2
    2×0.175998585336715-π/2
    0.351997170673429-1.57079632675     		φ = -1.21879916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67587401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.020508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21879916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.832048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12562 KachelY 12695 1.67587401 -1.21879916 96.020508 -69.832048
    Oben rechts KachelX + 1 12563 KachelY 12695 1.67625751 -1.21879916 96.042481 -69.832048
    Unten links KachelX 12562 KachelY + 1 12696 1.67587401 -1.21893135 96.020508 -69.839622
    Unten rechts KachelX + 1 12563 KachelY + 1 12696 1.67625751 -1.21893135 96.042481 -69.839622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21879916--1.21893135) × R
    0.000132189999999976 × 6371000     		dl = 842.18248999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21879916--1.21893135) × R
    0.000132189999999976 × 6371000     		dr = 842.18248999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67587401-1.67625751) × cos(-1.21879916) × R
    0.00038349999999987 × 0.344773206344636 × 6371000     		do = 842.376962437628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67587401-1.67625751) × cos(-1.21893135) × R
    0.00038349999999987 × 0.344649118428257 × 6371000     		du = 842.073781099429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21879916)-sin(-1.21893135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344773206344636-0.344649118428257)×R²
    abs(1.67625751-1.67587401)×0.000124087916379467×R²
    0.00038349999999987×0.000124087916379467×6371000²
    0.00038349999999987×0.000124087916379467×40589641000000     		ar = 709307.461770842m²