Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12560 / 14512
↖ ↑ ↗
← N 20.138470°
W 42.011719°		 ← 1 146.95 m → N 20.138470°
W 42.000732°		 →
↑
1 146.97 m
↓
↑
1 146.97 m
↓
N 20.128155°
W 42.011719°		 ← 1 147.03 m →
1 315 565 m²		 N 20.128155°
W 42.000732°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383316040039062 y=0.442886352539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383316040039062 × 215)
    floor (0.383316040039062 × 32768)
    floor (12560.5)     		tx = 12560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442886352539062 × 215)
    floor (0.442886352539062 × 32768)
    floor (14512.5)     		ty = 14512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12560 / 14512 ti = "15/12560/14512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12560/14512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12560 ÷ 215
    12560 ÷ 32768     		x = 0.38330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14512 ÷ 215
    14512 ÷ 32768     		y = 0.44287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38330078125 × 2 - 1) × π
    -0.2333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73324282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44287109375 × 2 - 1) × π
    0.1142578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.35895150435498
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73324282} λ = -0.73324282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.35895150435498))-π/2
    2×atan(1.43182736249643)-π/2
    2×0.961139470026334-π/2
    1.92227894005267-1.57079632675     		φ = 0.35148261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73324282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.011719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35148261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.138470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12560 KachelY 14512 -0.73324282 0.35148261 -42.011719 20.138470
    Oben rechts KachelX + 1 12561 KachelY 14512 -0.73305107 0.35148261 -42.000732 20.138470
    Unten links KachelX 12560 KachelY + 1 14513 -0.73324282 0.35130258 -42.011719 20.128155
    Unten rechts KachelX + 1 12561 KachelY + 1 14513 -0.73305107 0.35130258 -42.000732 20.128155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35148261-0.35130258) × R
    0.000180029999999998 × 6371000     		dl = 1146.97112999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35148261-0.35130258) × R
    0.000180029999999998 × 6371000     		dr = 1146.97112999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73324282--0.73305107) × cos(0.35148261) × R
    0.000191749999999935 × 0.938863296882702 × 6371000     		do = 1146.95225385592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73324282--0.73305107) × cos(0.35130258) × R
    0.000191749999999935 × 0.938925264224038 × 6371000     		du = 1147.02795559232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35148261)-sin(0.35130258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938863296882702-0.938925264224038)×R²
    abs(-0.73305107--0.73324282)×6.19673413361221e-05×R²
    0.000191749999999935×6.19673413361221e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.19673413361221e-05×40589641000000     		ar = 1315564.54006741m²