Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1256 / 1784
↖ ↑ ↗
← N 70.728980°
W124.804688°		 ← 1 612.72 m → N 70.728980°
W124.760742°		 →
↑
1 613.33 m
↓
↑
1 613.33 m
↓
N 70.714471°
W124.804688°		 ← 1 613.89 m →
2 602 795 m²		 N 70.714471°
W124.760742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.15338134765625 y=0.21783447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.15338134765625 × 213)
    floor (0.15338134765625 × 8192)
    floor (1256.5)     		tx = 1256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21783447265625 × 213)
    floor (0.21783447265625 × 8192)
    floor (1784.5)     		ty = 1784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1256 / 1784 ti = "13/1256/1784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1256/1784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1256 ÷ 213
    1256 ÷ 8192     		x = 0.1533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1784 ÷ 213
    1784 ÷ 8192     		y = 0.2177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1533203125 × 2 - 1) × π
    -0.693359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.17825272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2177734375 × 2 - 1) × π
    0.564453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.77328179074512
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.17825272} λ = -2.17825272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77328179074512))-π/2
    2×atan(5.89015192321003)-π/2
    2×1.40262494748353-π/2
    2.80524989496705-1.57079632675     		φ = 1.23445357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.17825272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.804688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23445357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.728980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1256 KachelY 1784 -2.17825272 1.23445357 -124.804688 70.728980
    Oben rechts KachelX + 1 1257 KachelY 1784 -2.17748573 1.23445357 -124.760742 70.728980
    Unten links KachelX 1256 KachelY + 1 1785 -2.17825272 1.23420034 -124.804688 70.714471
    Unten rechts KachelX + 1 1257 KachelY + 1 1785 -2.17748573 1.23420034 -124.760742 70.714471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23445357-1.23420034) × R
    0.000253229999999993 × 6371000     		dl = 1613.32832999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23445357-1.23420034) × R
    0.000253229999999993 × 6371000     		dr = 1613.32832999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.17825272--2.17748573) × cos(1.23445357) × R
    0.000766990000000245 × 0.330036986468592 × 6371000     		do = 1612.72351983111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.17825272--2.17748573) × cos(1.23420034) × R
    0.000766990000000245 × 0.330276016901136 × 6371000     		du = 1613.89154043584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23445357)-sin(1.23420034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330036986468592-0.330276016901136)×R²
    abs(-2.17748573--2.17825272)×0.000239030432543474×R²
    0.000766990000000245×0.000239030432543474×6371000²
    0.000766990000000245×0.000239030432543474×40589641000000     		ar = 2602794.75727568m²