Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1256 / 1000
↖ ↑ ↗
← N 67.339861°
W 69.609375°		 ← 3 765.18 m → N 67.339861°
W 69.521484°		 →
↑
3 767.87 m
↓
↑
3 767.87 m
↓
N 67.305976°
W 69.609375°		 ← 3 770.51 m →
14 196 773 m²		 N 67.305976°
W 69.521484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3067626953125 y=0.2442626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3067626953125 × 212)
    floor (0.3067626953125 × 4096)
    floor (1256.5)     		tx = 1256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2442626953125 × 212)
    floor (0.2442626953125 × 4096)
    floor (1000.5)     		ty = 1000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1256 / 1000 ti = "12/1256/1000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1256/1000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1256 ÷ 212
    1256 ÷ 4096     		x = 0.306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1000 ÷ 212
    1000 ÷ 4096     		y = 0.244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.306640625 × 2 - 1) × π
    -0.38671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.21491278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.244140625 × 2 - 1) × π
    0.51171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.6076118656582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.21491278} λ = -1.21491278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6076118656582))-π/2
    2×atan(4.99087809716585)-π/2
    2×1.37304930800925-π/2
    2.7460986160185-1.57079632675     		φ = 1.17530229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.21491278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -69.609375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17530229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.339861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1256 KachelY 1000 -1.21491278 1.17530229 -69.609375 67.339861
    Oben rechts KachelX + 1 1257 KachelY 1000 -1.21337880 1.17530229 -69.521484 67.339861
    Unten links KachelX 1256 KachelY + 1 1001 -1.21491278 1.17471088 -69.609375 67.305976
    Unten rechts KachelX + 1 1257 KachelY + 1 1001 -1.21337880 1.17471088 -69.521484 67.305976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17530229-1.17471088) × R
    0.000591410000000181 × 6371000     		dl = 3767.87311000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17530229-1.17471088) × R
    0.000591410000000181 × 6371000     		dr = 3767.87311000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.21491278--1.21337880) × cos(1.17530229) × R
    0.00153397999999982 × 0.385264136093535 × 6371000     		do = 3765.18123179698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.21491278--1.21337880) × cos(1.17471088) × R
    0.00153397999999982 × 0.385809825584531 × 6371000     		du = 3770.51424786933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17530229)-sin(1.17471088))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385264136093535-0.385809825584531)×R²
    abs(-1.21337880--1.21491278)×0.000545689490996482×R²
    0.00153397999999982×0.000545689490996482×6371000²
    0.00153397999999982×0.000545689490996482×40589641000000     		ar = 14196772.595295m²