Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12556 / 12676
↖ ↑ ↗
← S 69.687618°
E 95.888672°		 ← 848.13 m → S 69.687618°
E 95.910644°		 →
↑
847.98 m
↓
↑
847.98 m
↓
S 69.695245°
E 95.888672°		 ← 847.83 m →
719 071 m²		 S 69.695245°
E 95.910644°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766387939453125 y=0.773712158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766387939453125 × 214)
    floor (0.766387939453125 × 16384)
    floor (12556.5)     		tx = 12556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773712158203125 × 214)
    floor (0.773712158203125 × 16384)
    floor (12676.5)     		ty = 12676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12556 / 12676 ti = "14/12556/12676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12556/12676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12556 ÷ 214
    12556 ÷ 16384     		x = 0.766357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12676 ÷ 214
    12676 ÷ 16384     		y = 0.773681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766357421875 × 2 - 1) × π
    0.53271484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67357304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773681640625 × 2 - 1) × π
    -0.54736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.71959246317065
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67357304} λ = 1.67357304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71959246317065))-π/2
    2×atan(0.179139138833891)-π/2
    2×0.17725896865129-π/2
    0.354517937302581-1.57079632675     		φ = -1.21627839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67357304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.888672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21627839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.687618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12556 KachelY 12676 1.67357304 -1.21627839 95.888672 -69.687618
    Oben rechts KachelX + 1 12557 KachelY 12676 1.67395653 -1.21627839 95.910644 -69.687618
    Unten links KachelX 12556 KachelY + 1 12677 1.67357304 -1.21641149 95.888672 -69.695245
    Unten rechts KachelX + 1 12557 KachelY + 1 12677 1.67395653 -1.21641149 95.910644 -69.695245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21627839--1.21641149) × R
    0.000133099999999997 × 6371000     		dl = 847.980099999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21627839--1.21641149) × R
    0.000133099999999997 × 6371000     		dr = 847.980099999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67357304-1.67395653) × cos(-1.21627839) × R
    0.000383490000000153 × 0.347138319994255 × 6371000     		do = 848.133477586056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67357304-1.67395653) × cos(-1.21641149) × R
    0.000383490000000153 × 0.347013493884274 × 6371000     		du = 847.828500587972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21627839)-sin(-1.21641149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347138319994255-0.347013493884274)×R²
    abs(1.67395653-1.67357304)×0.000124826109981047×R²
    0.000383490000000153×0.000124826109981047×6371000²
    0.000383490000000153×0.000124826109981047×40589641000000     		ar = 719071.004985452m²