Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12556 / 12675
↖ ↑ ↗
← S 69.679990°
E 95.888672°		 ← 848.44 m → S 69.679990°
E 95.910644°		 →
↑
848.30 m
↓
↑
848.30 m
↓
S 69.687618°
E 95.888672°		 ← 848.13 m →
719 600 m²		 S 69.687618°
E 95.910644°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766387939453125 y=0.773651123046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766387939453125 × 214)
    floor (0.766387939453125 × 16384)
    floor (12556.5)     		tx = 12556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773651123046875 × 214)
    floor (0.773651123046875 × 16384)
    floor (12675.5)     		ty = 12675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12556 / 12675 ti = "14/12556/12675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12556/12675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12556 ÷ 214
    12556 ÷ 16384     		x = 0.766357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12675 ÷ 214
    12675 ÷ 16384     		y = 0.77362060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766357421875 × 2 - 1) × π
    0.53271484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67357304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77362060546875 × 2 - 1) × π
    -0.5472412109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.71920896797369
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67357304} λ = 1.67357304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71920896797369))-π/2
    2×atan(0.179207851007773)-π/2
    2×0.177325543561405-π/2
    0.35465108712281-1.57079632675     		φ = -1.21614524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67357304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.888672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21614524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.679990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12556 KachelY 12675 1.67357304 -1.21614524 95.888672 -69.679990
    Oben rechts KachelX + 1 12557 KachelY 12675 1.67395653 -1.21614524 95.910644 -69.679990
    Unten links KachelX 12556 KachelY + 1 12676 1.67357304 -1.21627839 95.888672 -69.687618
    Unten rechts KachelX + 1 12557 KachelY + 1 12676 1.67395653 -1.21627839 95.910644 -69.687618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21614524--1.21627839) × R
    0.000133150000000137 × 6371000     		dl = 848.298650000875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21614524--1.21627839) × R
    0.000133150000000137 × 6371000     		dr = 848.298650000875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67357304-1.67395653) × cos(-1.21614524) × R
    0.000383490000000153 × 0.347263186842855 × 6371000     		do = 848.438554117336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67357304-1.67395653) × cos(-1.21627839) × R
    0.000383490000000153 × 0.347138319994255 × 6371000     		du = 848.133477586056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21614524)-sin(-1.21627839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347263186842855-0.347138319994255)×R²
    abs(1.67395653-1.67357304)×0.000124866848600025×R²
    0.000383490000000153×0.000124866848600025×6371000²
    0.000383490000000153×0.000124866848600025×40589641000000     		ar = 719599.883124971m²