Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12554 / 12729
↖ ↑ ↗
← S 70.088047°
E 95.844727°		 ← 832.10 m → S 70.088047°
E 95.866699°		 →
↑
831.99 m
↓
↑
831.99 m
↓
S 70.095529°
E 95.844727°		 ← 831.80 m →
692 173 m²		 S 70.095529°
E 95.866699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766265869140625 y=0.776947021484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766265869140625 × 214)
    floor (0.766265869140625 × 16384)
    floor (12554.5)     		tx = 12554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776947021484375 × 214)
    floor (0.776947021484375 × 16384)
    floor (12729.5)     		ty = 12729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12554 / 12729 ti = "14/12554/12729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12554/12729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12554 ÷ 214
    12554 ÷ 16384     		x = 0.7662353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12729 ÷ 214
    12729 ÷ 16384     		y = 0.77691650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7662353515625 × 2 - 1) × π
    0.532470703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67280605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77691650390625 × 2 - 1) × π
    -0.5538330078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.73991770860956
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67280605} λ = 1.67280605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73991770860956))-π/2
    2×atan(0.175534845029132)-π/2
    2×0.173764571401036-π/2
    0.347529142802072-1.57079632675     		φ = -1.22326718
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67280605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.844727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22326718 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.088047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12554 KachelY 12729 1.67280605 -1.22326718 95.844727 -70.088047
    Oben rechts KachelX + 1 12555 KachelY 12729 1.67318954 -1.22326718 95.866699 -70.088047
    Unten links KachelX 12554 KachelY + 1 12730 1.67280605 -1.22339777 95.844727 -70.095529
    Unten rechts KachelX + 1 12555 KachelY + 1 12730 1.67318954 -1.22339777 95.866699 -70.095529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22326718--1.22339777) × R
    0.000130590000000153 × 6371000     		dl = 831.988890000972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22326718--1.22339777) × R
    0.000130590000000153 × 6371000     		dr = 831.988890000972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67280605-1.67318954) × cos(-1.22326718) × R
    0.000383490000000153 × 0.340575711024003 × 6371000     		do = 832.099614288941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67280605-1.67318954) × cos(-1.22339777) × R
    0.000383490000000153 × 0.340452925169916 × 6371000     		du = 831.799622074233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22326718)-sin(-1.22339777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340575711024003-0.340452925169916)×R²
    abs(1.67318954-1.67280605)×0.000122785854086871×R²
    0.000383490000000153×0.000122785854086871×6371000²
    0.000383490000000153×0.000122785854086871×40589641000000     		ar = 692172.840351696m²