Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12553 / 14570
↖ ↑ ↗
← N 19.539084°
W 42.088623°		 ← 1 151.29 m → N 19.539084°
W 42.077637°		 →
↑
1 151.30 m
↓
↑
1 151.30 m
↓
N 19.528730°
W 42.088623°		 ← 1 151.36 m →
1 325 526 m²		 N 19.528730°
W 42.077637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383102416992188 y=0.444656372070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383102416992188 × 215)
    floor (0.383102416992188 × 32768)
    floor (12553.5)     		tx = 12553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444656372070312 × 215)
    floor (0.444656372070312 × 32768)
    floor (14570.5)     		ty = 14570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12553 / 14570 ti = "15/12553/14570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12553/14570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12553 ÷ 215
    12553 ÷ 32768     		x = 0.383087158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14570 ÷ 215
    14570 ÷ 32768     		y = 0.44464111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383087158203125 × 2 - 1) × π
    -0.23382568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73458505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44464111328125 × 2 - 1) × π
    0.1107177734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.347830143643127
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73458505} λ = -0.73458505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.347830143643127))-π/2
    2×atan(1.41599171411843)-π/2
    2×0.955908838887178-π/2
    1.91181767777436-1.57079632675     		φ = 0.34102135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73458505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.088623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34102135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.539084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12553 KachelY 14570 -0.73458505 0.34102135 -42.088623 19.539084
    Oben rechts KachelX + 1 12554 KachelY 14570 -0.73439330 0.34102135 -42.077637 19.539084
    Unten links KachelX 12553 KachelY + 1 14571 -0.73458505 0.34084064 -42.088623 19.528730
    Unten rechts KachelX + 1 12554 KachelY + 1 14571 -0.73439330 0.34084064 -42.077637 19.528730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34102135-0.34084064) × R
    0.000180710000000028 × 6371000     		dl = 1151.30341000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34102135-0.34084064) × R
    0.000180710000000028 × 6371000     		dr = 1151.30341000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73458505--0.73439330) × cos(0.34102135) × R
    0.000191749999999935 × 0.942413566826039 × 6371000     		do = 1151.2894029668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73458505--0.73439330) × cos(0.34084064) × R
    0.000191749999999935 × 0.942473989861383 × 6371000     		du = 1151.36321811838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34102135)-sin(0.34084064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942413566826039-0.942473989861383)×R²
    abs(-0.73439330--0.73458505)×6.04230353438151e-05×R²
    0.000191749999999935×6.04230353438151e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.04230353438151e-05×40589641000000     		ar = 1325525.91095762m²