Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12551 / 14567
↖ ↑ ↗
← N 19.570142°
W 42.110595°		 ← 1 151.01 m → N 19.570142°
W 42.099610°		 →
↑
1 151.11 m
↓
↑
1 151.11 m
↓
N 19.559790°
W 42.110595°		 ← 1 151.08 m →
1 324 982 m²		 N 19.559790°
W 42.099610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383041381835938 y=0.444564819335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383041381835938 × 215)
    floor (0.383041381835938 × 32768)
    floor (12551.5)     		tx = 12551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444564819335938 × 215)
    floor (0.444564819335938 × 32768)
    floor (14567.5)     		ty = 14567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12551 / 14567 ti = "15/12551/14567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12551/14567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12551 ÷ 215
    12551 ÷ 32768     		x = 0.383026123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14567 ÷ 215
    14567 ÷ 32768     		y = 0.444549560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383026123046875 × 2 - 1) × π
    -0.23394775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.73496854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444549560546875 × 2 - 1) × π
    0.11090087890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.348405386438568
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73496854} λ = -0.73496854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.348405386438568))-π/2
    2×atan(1.41680648747416)-π/2
    2×0.956179871108371-π/2
    1.91235974221674-1.57079632675     		φ = 0.34156342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73496854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.110595°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34156342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.570142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12551 KachelY 14567 -0.73496854 0.34156342 -42.110595 19.570142
    Oben rechts KachelX + 1 12552 KachelY 14567 -0.73477680 0.34156342 -42.099610 19.570142
    Unten links KachelX 12551 KachelY + 1 14568 -0.73496854 0.34138274 -42.110595 19.559790
    Unten rechts KachelX + 1 12552 KachelY + 1 14568 -0.73477680 0.34138274 -42.099610 19.559790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34156342-0.34138274) × R
    0.000180679999999989 × 6371000     		dl = 1151.11227999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34156342-0.34138274) × R
    0.000180679999999989 × 6371000     		dr = 1151.11227999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73496854--0.73477680) × cos(0.34156342) × R
    0.000191739999999996 × 0.942232133172211 × 6371000     		do = 1151.00772688517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73496854--0.73477680) × cos(0.34138274) × R
    0.000191739999999996 × 0.942292638474371 × 6371000     		du = 1151.08163868233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34156342)-sin(0.34138274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942232133172211-0.942292638474371)×R²
    abs(-0.73477680--0.73496854)×6.05053021597302e-05×R²
    0.000191739999999996×6.05053021597302e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.05053021597302e-05×40589641000000     		ar = 1324981.67278563m²