Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12551 / 12727
↖ ↑ ↗
← S 70.073075°
E 95.778808°		 ← 832.72 m → S 70.073075°
E 95.800781°		 →
↑
832.56 m
↓
↑
832.56 m
↓
S 70.080562°
E 95.778808°		 ← 832.42 m →
693 168 m²		 S 70.080562°
E 95.800781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766082763671875 y=0.776824951171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766082763671875 × 214)
    floor (0.766082763671875 × 16384)
    floor (12551.5)     		tx = 12551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776824951171875 × 214)
    floor (0.776824951171875 × 16384)
    floor (12727.5)     		ty = 12727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12551 / 12727 ti = "14/12551/12727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12551/12727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12551 ÷ 214
    12551 ÷ 16384     		x = 0.76605224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12727 ÷ 214
    12727 ÷ 16384     		y = 0.77679443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76605224609375 × 2 - 1) × π
    0.5321044921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67165556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77679443359375 × 2 - 1) × π
    -0.5535888671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.73915071821564
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67165556} λ = 1.67165556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73915071821564))-π/2
    2×atan(0.175669530213586)-π/2
    2×0.173895227652387-π/2
    0.347790455304774-1.57079632675     		φ = -1.22300587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67165556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.778808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22300587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.073075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12551 KachelY 12727 1.67165556 -1.22300587 95.778808 -70.073075
    Oben rechts KachelX + 1 12552 KachelY 12727 1.67203906 -1.22300587 95.800781 -70.073075
    Unten links KachelX 12551 KachelY + 1 12728 1.67165556 -1.22313655 95.778808 -70.080562
    Unten rechts KachelX + 1 12552 KachelY + 1 12728 1.67203906 -1.22313655 95.800781 -70.080562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22300587--1.22313655) × R
    0.00013068000000005 × 6371000     		dl = 832.562280000316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22300587--1.22313655) × R
    0.00013068000000005 × 6371000     		dr = 832.562280000316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67165556-1.67203906) × cos(-1.22300587) × R
    0.00038349999999987 × 0.340821387522457 × 6371000     		do = 832.721568473505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67165556-1.67203906) × cos(-1.22313655) × R
    0.00038349999999987 × 0.340698528676901 × 6371000     		du = 832.421390097624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22300587)-sin(-1.22313655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340821387522457-0.340698528676901)×R²
    abs(1.67203906-1.67165556)×0.000122858845555573×R²
    0.00038349999999987×0.000122858845555573×6371000²
    0.00038349999999987×0.000122858845555573×40589641000000     		ar = 693167.610043816m²