Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12550 / 21259
↖ ↑ ↗
← S 47.122476°
W 42.121582°		 ← 831.24 m → S 47.122476°
W 42.110595°		 →
↑
831.22 m
↓
↑
831.22 m
↓
S 47.129951°
W 42.121582°		 ← 831.13 m →
690 902 m²		 S 47.129951°
W 42.110595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383010864257812 y=0.648788452148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383010864257812 × 215)
    floor (0.383010864257812 × 32768)
    floor (12550.5)     		tx = 12550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648788452148438 × 215)
    floor (0.648788452148438 × 32768)
    floor (21259.5)     		ty = 21259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12550 / 21259 ti = "15/12550/21259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12550/21259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12550 ÷ 215
    12550 ÷ 32768     		x = 0.38299560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21259 ÷ 215
    21259 ÷ 32768     		y = 0.648773193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38299560546875 × 2 - 1) × π
    -0.2340087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.73516029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648773193359375 × 2 - 1) × π
    -0.29754638671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.934769542591095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73516029} λ = -0.73516029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.934769542591095))-π/2
    2×atan(0.392676350278901)-π/2
    2×0.374176986060642-π/2
    0.748353972121285-1.57079632675     		φ = -0.82244235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73516029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.121582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82244235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.122476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12550 KachelY 21259 -0.73516029 -0.82244235 -42.121582 -47.122476
    Oben rechts KachelX + 1 12551 KachelY 21259 -0.73496854 -0.82244235 -42.110595 -47.122476
    Unten links KachelX 12550 KachelY + 1 21260 -0.73516029 -0.82257282 -42.121582 -47.129951
    Unten rechts KachelX + 1 12551 KachelY + 1 21260 -0.73496854 -0.82257282 -42.110595 -47.129951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82244235--0.82257282) × R
    0.000130469999999994 × 6371000     		dl = 831.22436999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82244235--0.82257282) × R
    0.000130469999999994 × 6371000     		dr = 831.22436999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73516029--0.73496854) × cos(-0.82244235) × R
    0.000191750000000046 × 0.68043346029688 × 6371000     		do = 831.244222112185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73516029--0.73496854) × cos(-0.82257282) × R
    0.000191750000000046 × 0.680337844802052 × 6371000     		du = 831.127414470795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82244235)-sin(-0.82257282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68043346029688-0.680337844802052)×R²
    abs(-0.73496854--0.73516029)×9.56154948280608e-05×R²
    0.000191750000000046×9.56154948280608e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.56154948280608e-05×40589641000000     		ar = 690901.909142666m²