Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 12550 / 17663
↖ ↑ ↗
← N 63.550999°
W111.060791°		 ← 272.05 m → N 63.550999°
W111.055298°		 →
↑
272.11 m
↓
↑
272.11 m
↓
N 63.548552°
W111.060791°		 ← 272.07 m →
74 028 m²		 N 63.548552°
W111.055298°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.191505432128906 y=0.269523620605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.191505432128906 × 216)
    floor (0.191505432128906 × 65536)
    floor (12550.5)     		tx = 12550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269523620605469 × 216)
    floor (0.269523620605469 × 65536)
    floor (17663.5)     		ty = 17663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 12550 / 17663 ti = "16/12550/17663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/12550/17663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12550 ÷ 216
    12550 ÷ 65536     		x = 0.191497802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17663 ÷ 216
    17663 ÷ 65536     		y = 0.269515991210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.191497802734375 × 2 - 1) × π
    -0.61700439453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.93837647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.269515991210938 × 2 - 1) × π
    0.460968017578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.4481737375219
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.93837647} λ = -1.93837647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4481737375219))-π/2
    2×atan(4.2553360540077)-π/2
    2×1.33998525111261-π/2
    2.67997050222521-1.57079632675     		φ = 1.10917418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.93837647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -111.060791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10917418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.550999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12550 KachelY 17663 -1.93837647 1.10917418 -111.060791 63.550999
    Oben rechts KachelX + 1 12551 KachelY 17663 -1.93828060 1.10917418 -111.055298 63.550999
    Unten links KachelX 12550 KachelY + 1 17664 -1.93837647 1.10913147 -111.060791 63.548552
    Unten rechts KachelX + 1 12551 KachelY + 1 17664 -1.93828060 1.10913147 -111.055298 63.548552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10917418-1.10913147) × R
    4.27100000000014e-05 × 6371000     		dl = 272.105410000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10917418-1.10913147) × R
    4.27100000000014e-05 × 6371000     		dr = 272.105410000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.93837647--1.93828060) × cos(1.10917418) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.445401050921413 × 6371000     		do = 272.045514647941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.93837647--1.93828060) × cos(1.10913147) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.445439290109431 × 6371000     		du = 272.068870676317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10917418)-sin(1.10913147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445401050921413-0.445439290109431)×R²
    abs(-1.93828060--1.93837647)×3.82391880179855e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.82391880179855e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.82391880179855e-05×40589641000000     		ar = 74028.233964369m²