Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12550 / 12427
↖ ↑ ↗
← S 67.701110°
E 95.756836°		 ← 927.05 m → S 67.701110°
E 95.778808°		 →
↑
926.92 m
↓
↑
926.92 m
↓
S 67.709446°
E 95.756836°		 ← 926.72 m →
859 145 m²		 S 67.709446°
E 95.778808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766021728515625 y=0.758514404296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766021728515625 × 214)
    floor (0.766021728515625 × 16384)
    floor (12550.5)     		tx = 12550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758514404296875 × 214)
    floor (0.758514404296875 × 16384)
    floor (12427.5)     		ty = 12427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12550 / 12427 ti = "14/12550/12427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12550/12427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12550 ÷ 214
    12550 ÷ 16384     		x = 0.7659912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12427 ÷ 214
    12427 ÷ 16384     		y = 0.75848388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7659912109375 × 2 - 1) × π
    0.531982421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67127207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75848388671875 × 2 - 1) × π
    -0.5169677734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.6241021591275
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67127207} λ = 1.67127207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6241021591275))-π/2
    2×atan(0.197088549945268)-π/2
    2×0.194594527682978-π/2
    0.389189055365956-1.57079632675     		φ = -1.18160727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67127207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.756836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18160727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.701110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12550 KachelY 12427 1.67127207 -1.18160727 95.756836 -67.701110
    Oben rechts KachelX + 1 12551 KachelY 12427 1.67165556 -1.18160727 95.778808 -67.701110
    Unten links KachelX 12550 KachelY + 1 12428 1.67127207 -1.18175276 95.756836 -67.709446
    Unten rechts KachelX + 1 12551 KachelY + 1 12428 1.67165556 -1.18175276 95.778808 -67.709446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18160727--1.18175276) × R
    0.00014548999999997 × 6371000     		dl = 926.916789999811m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18160727--1.18175276) × R
    0.00014548999999997 × 6371000     		dr = 926.916789999811m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67127207-1.67165556) × cos(-1.18160727) × R
    0.000383489999999931 × 0.379438241476506 × 6371000     		do = 927.049123466824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67127207-1.67165556) × cos(-1.18175276) × R
    0.000383489999999931 × 0.379303627630067 × 6371000     		du = 926.720232926265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18160727)-sin(-1.18175276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379438241476506-0.379303627630067)×R²
    abs(1.67165556-1.67127207)×0.000134613846439258×R²
    0.000383489999999931×0.000134613846439258×6371000²
    0.000383489999999931×0.000134613846439258×40589641000000     		ar = 859144.97212898m²