Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12550 / 12274
↖ ↑ ↗
← S 66.390362°
E 95.756836°		 ← 978.52 m → S 66.390362°
E 95.778808°		 →
↑
978.33 m
↓
↑
978.33 m
↓
S 66.399160°
E 95.756836°		 ← 978.17 m →
957 143 m²		 S 66.399160°
E 95.778808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766021728515625 y=0.749176025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766021728515625 × 214)
    floor (0.766021728515625 × 16384)
    floor (12550.5)     		tx = 12550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749176025390625 × 214)
    floor (0.749176025390625 × 16384)
    floor (12274.5)     		ty = 12274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12550 / 12274 ti = "14/12550/12274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12550/12274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12550 ÷ 214
    12550 ÷ 16384     		x = 0.7659912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12274 ÷ 214
    12274 ÷ 16384     		y = 0.7491455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7659912109375 × 2 - 1) × π
    0.531982421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67127207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7491455078125 × 2 - 1) × π
    -0.498291015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.56542739399255
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67127207} λ = 1.67127207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56542739399255))-π/2
    2×atan(0.208998669306414)-π/2
    2×0.206032964172092-π/2
    0.412065928344185-1.57079632675     		φ = -1.15873040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67127207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.756836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15873040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.390362°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12550 KachelY 12274 1.67127207 -1.15873040 95.756836 -66.390362
    Oben rechts KachelX + 1 12551 KachelY 12274 1.67165556 -1.15873040 95.778808 -66.390362
    Unten links KachelX 12550 KachelY + 1 12275 1.67127207 -1.15888396 95.756836 -66.399160
    Unten rechts KachelX + 1 12551 KachelY + 1 12275 1.67165556 -1.15888396 95.778808 -66.399160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15873040--1.15888396) × R
    0.000153559999999997 × 6371000     		dl = 978.330759999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15873040--1.15888396) × R
    0.000153559999999997 × 6371000     		dr = 978.330759999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67127207-1.67165556) × cos(-1.15873040) × R
    0.000383489999999931 × 0.400503180475984 × 6371000     		do = 978.515293980786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67127207-1.67165556) × cos(-1.15888396) × R
    0.000383489999999931 × 0.400362469437675 × 6371000     		du = 978.171506690873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15873040)-sin(-1.15888396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400503180475984-0.400362469437675)×R²
    abs(1.67165556-1.67127207)×0.000140711038309149×R²
    0.000383489999999931×0.000140711038309149×6371000²
    0.000383489999999931×0.000140711038309149×40589641000000     		ar = 957143.44427152m²