Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12549 / 21266
↖ ↑ ↗
← S 47.174779°
W 42.132568°		 ← 830.43 m → S 47.174779°
W 42.121582°		 →
↑
830.33 m
↓
↑
830.33 m
↓
S 47.182246°
W 42.132568°		 ← 830.31 m →
689 482 m²		 S 47.182246°
W 42.121582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382980346679688 y=0.649002075195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382980346679688 × 215)
    floor (0.382980346679688 × 32768)
    floor (12549.5)     		tx = 12549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649002075195312 × 215)
    floor (0.649002075195312 × 32768)
    floor (21266.5)     		ty = 21266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12549 / 21266 ti = "15/12549/21266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12549/21266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12549 ÷ 215
    12549 ÷ 32768     		x = 0.382965087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21266 ÷ 215
    21266 ÷ 32768     		y = 0.64898681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382965087890625 × 2 - 1) × π
    -0.23406982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73535204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64898681640625 × 2 - 1) × π
    -0.2979736328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.936111775780457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73535204} λ = -0.73535204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.936111775780457))-π/2
    2×atan(0.392149640611554)-π/2
    2×0.373720560446907-π/2
    0.747441120893814-1.57079632675     		φ = -0.82335521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73535204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.132568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82335521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.174779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12549 KachelY 21266 -0.73535204 -0.82335521 -42.132568 -47.174779
    Oben rechts KachelX + 1 12550 KachelY 21266 -0.73516029 -0.82335521 -42.121582 -47.174779
    Unten links KachelX 12549 KachelY + 1 21267 -0.73535204 -0.82348554 -42.132568 -47.182246
    Unten rechts KachelX + 1 12550 KachelY + 1 21267 -0.73516029 -0.82348554 -42.121582 -47.182246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82335521--0.82348554) × R
    0.000130329999999956 × 6371000     		dl = 830.332429999722m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82335521--0.82348554) × R
    0.000130329999999956 × 6371000     		dr = 830.332429999722m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73535204--0.73516029) × cos(-0.82335521) × R
    0.000191749999999935 × 0.679764224064391 × 6371000     		do = 830.426656862573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73535204--0.73516029) × cos(-0.82348554) × R
    0.000191749999999935 × 0.679668630267615 × 6371000     		du = 830.309875728375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82335521)-sin(-0.82348554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679764224064391-0.679668630267615)×R²
    abs(-0.73516029--0.73535204)×9.55937967759279e-05×R²
    0.000191749999999935×9.55937967759279e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.55937967759279e-05×40589641000000     		ar = 689481.701324109m²