Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 12549 / 17661
↖ ↑ ↗
← N 63.555892°
W111.066284°		 ← 272.03 m → N 63.555892°
W111.060791°		 →
↑
271.98 m
↓
↑
271.98 m
↓
N 63.553446°
W111.066284°		 ← 272.05 m →
73 989 m²		 N 63.553446°
W111.060791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.191490173339844 y=0.269493103027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.191490173339844 × 216)
    floor (0.191490173339844 × 65536)
    floor (12549.5)     		tx = 12549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269493103027344 × 216)
    floor (0.269493103027344 × 65536)
    floor (17661.5)     		ty = 17661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 12549 / 17661 ti = "16/12549/17661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/12549/17661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12549 ÷ 216
    12549 ÷ 65536     		x = 0.191482543945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17661 ÷ 216
    17661 ÷ 65536     		y = 0.269485473632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.191482543945312 × 2 - 1) × π
    -0.617034912109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.93847235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.269485473632812 × 2 - 1) × π
    0.461029052734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.44836548512038
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.93847235} λ = -1.93847235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44836548512038))-π/2
    2×atan(4.25615208271005)-π/2
    2×1.34002794973858-π/2
    2.68005589947716-1.57079632675     		φ = 1.10925957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.93847235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -111.066284°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10925957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.555892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12549 KachelY 17661 -1.93847235 1.10925957 -111.066284 63.555892
    Oben rechts KachelX + 1 12550 KachelY 17661 -1.93837647 1.10925957 -111.060791 63.555892
    Unten links KachelX 12549 KachelY + 1 17662 -1.93847235 1.10921688 -111.066284 63.553446
    Unten rechts KachelX + 1 12550 KachelY + 1 17662 -1.93837647 1.10921688 -111.060791 63.553446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10925957-1.10921688) × R
    4.26900000001229e-05 × 6371000     		dl = 271.977990000783m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10925957-1.10921688) × R
    4.26900000001229e-05 × 6371000     		dr = 271.977990000783m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.93847235--1.93837647) × cos(1.10925957) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.445324596969096 × 6371000     		do = 272.027189139427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.93847235--1.93837647) × cos(1.10921688) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.445362819874422 × 6371000     		du = 272.050537657715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10925957)-sin(1.10921688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445324596969096-0.445362819874422)×R²
    abs(-1.93837647--1.93847235)×3.82229053254579e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.82229053254579e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.82229053254579e-05×40589641000000     		ar = 73988.5832806782m²