Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12547 / 21261
↖ ↑ ↗
← S 47.137425°
W 42.154541°		 ← 831.01 m → S 47.137425°
W 42.143555°		 →
↑
830.97 m
↓
↑
830.97 m
↓
S 47.144898°
W 42.154541°		 ← 830.89 m →
690 496 m²		 S 47.144898°
W 42.143555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382919311523438 y=0.648849487304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382919311523438 × 215)
    floor (0.382919311523438 × 32768)
    floor (12547.5)     		tx = 12547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648849487304688 × 215)
    floor (0.648849487304688 × 32768)
    floor (21261.5)     		ty = 21261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12547 / 21261 ti = "15/12547/21261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12547/21261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12547 ÷ 215
    12547 ÷ 32768     		x = 0.382904052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21261 ÷ 215
    21261 ÷ 32768     		y = 0.648834228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382904052734375 × 2 - 1) × π
    -0.23419189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.73573554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648834228515625 × 2 - 1) × π
    -0.29766845703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.935153037788055
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73573554} λ = -0.73573554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.935153037788055))-π/2
    2×atan(0.392525789656092)-π/2
    2×0.374046532912264-π/2
    0.748093065824527-1.57079632675     		φ = -0.82270326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73573554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.154541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82270326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.137425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12547 KachelY 21261 -0.73573554 -0.82270326 -42.154541 -47.137425
    Oben rechts KachelX + 1 12548 KachelY 21261 -0.73554379 -0.82270326 -42.143555 -47.137425
    Unten links KachelX 12547 KachelY + 1 21262 -0.73573554 -0.82283369 -42.154541 -47.144898
    Unten rechts KachelX + 1 12548 KachelY + 1 21262 -0.73554379 -0.82283369 -42.143555 -47.144898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82270326--0.82283369) × R
    0.000130429999999904 × 6371000     		dl = 830.969529999386m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82270326--0.82283369) × R
    0.000130429999999904 × 6371000     		dr = 830.969529999386m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73573554--0.73554379) × cos(-0.82270326) × R
    0.000191749999999935 × 0.680242239715849 × 6371000     		do = 831.010619544508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73573554--0.73554379) × cos(-0.82283369) × R
    0.000191749999999935 × 0.680146630386361 × 6371000     		du = 830.89381943494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82270326)-sin(-0.82283369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680242239715849-0.680146630386361)×R²
    abs(-0.73554379--0.73573554)×9.56093294877114e-05×R²
    0.000191749999999935×9.56093294877114e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.56093294877114e-05×40589641000000     		ar = 690495.976260929m²