Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12545 / 12473
↖ ↑ ↗
← S 68.081508°
E 95.646973°		 ← 912.04 m → S 68.081508°
E 95.668945°		 →
↑
911.88 m
↓
↑
911.88 m
↓
S 68.089709°
E 95.646973°		 ← 911.72 m →
831 528 m²		 S 68.089709°
E 95.668945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765716552734375 y=0.761322021484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765716552734375 × 214)
    floor (0.765716552734375 × 16384)
    floor (12545.5)     		tx = 12545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761322021484375 × 214)
    floor (0.761322021484375 × 16384)
    floor (12473.5)     		ty = 12473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12545 / 12473 ti = "14/12545/12473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12545/12473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12545 ÷ 214
    12545 ÷ 16384     		x = 0.76568603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12473 ÷ 214
    12473 ÷ 16384     		y = 0.76129150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76568603515625 × 2 - 1) × π
    0.5313720703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66935459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76129150390625 × 2 - 1) × π
    -0.5225830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64174293818768
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66935459} λ = 1.66935459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64174293818768))-π/2
    2×atan(0.193642241535968)-π/2
    2×0.191274923525396-π/2
    0.382549847050793-1.57079632675     		φ = -1.18824648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66935459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.646973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18824648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.081508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12545 KachelY 12473 1.66935459 -1.18824648 95.646973 -68.081508
    Oben rechts KachelX + 1 12546 KachelY 12473 1.66973809 -1.18824648 95.668945 -68.081508
    Unten links KachelX 12545 KachelY + 1 12474 1.66935459 -1.18838961 95.646973 -68.089709
    Unten rechts KachelX + 1 12546 KachelY + 1 12474 1.66973809 -1.18838961 95.668945 -68.089709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18824648--1.18838961) × R
    0.00014312999999988 × 6371000     		dl = 911.881229999237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18824648--1.18838961) × R
    0.00014312999999988 × 6371000     		dr = 911.881229999237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66935459-1.66973809) × cos(-1.18824648) × R
    0.000383500000000092 × 0.373287213581963 × 6371000     		do = 912.044623269938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66935459-1.66973809) × cos(-1.18838961) × R
    0.000383500000000092 × 0.373154425792441 × 6371000     		du = 911.720185718736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18824648)-sin(-1.18838961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373287213581963-0.373154425792441)×R²
    abs(1.66973809-1.66935459)×0.000132787789522026×R²
    0.000383500000000092×0.000132787789522026×6371000²
    0.000383500000000092×0.000132787789522026×40589641000000     		ar = 831528.45004443m²