Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12542 / 12162
↖ ↑ ↗
← S 65.385147°
E 95.581055°		 ← 1 017.64 m → S 65.385147°
E 95.603027°		 →
↑
1 017.51 m
↓
↑
1 017.51 m
↓
S 65.394298°
E 95.581055°		 ← 1 017.28 m →
1 035 280 m²		 S 65.394298°
E 95.603027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765533447265625 y=0.742340087890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765533447265625 × 214)
    floor (0.765533447265625 × 16384)
    floor (12542.5)     		tx = 12542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742340087890625 × 214)
    floor (0.742340087890625 × 16384)
    floor (12162.5)     		ty = 12162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12542 / 12162 ti = "14/12542/12162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12542/12162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12542 ÷ 214
    12542 ÷ 16384     		x = 0.7655029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12162 ÷ 214
    12162 ÷ 16384     		y = 0.7423095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7655029296875 × 2 - 1) × π
    0.531005859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66820411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7423095703125 × 2 - 1) × π
    -0.484619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52247593193298
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66820411} λ = 1.66820411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52247593193298))-π/2
    2×atan(0.218171041032322)-π/2
    2×0.214805112944921-π/2
    0.429610225889843-1.57079632675     		φ = -1.14118610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66820411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.581055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14118610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.385147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12542 KachelY 12162 1.66820411 -1.14118610 95.581055 -65.385147
    Oben rechts KachelX + 1 12543 KachelY 12162 1.66858760 -1.14118610 95.603027 -65.385147
    Unten links KachelX 12542 KachelY + 1 12163 1.66820411 -1.14134581 95.581055 -65.394298
    Unten rechts KachelX + 1 12543 KachelY + 1 12163 1.66858760 -1.14134581 95.603027 -65.394298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14118610--1.14134581) × R
    0.000159709999999924 × 6371000     		dl = 1017.51240999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14118610--1.14134581) × R
    0.000159709999999924 × 6371000     		dr = 1017.51240999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66820411-1.66858760) × cos(-1.14118610) × R
    0.000383489999999931 × 0.416516480278439 × 6371000     		do = 1017.63922489484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66820411-1.66858760) × cos(-1.14134581) × R
    0.000383489999999931 × 0.416371278107611 × 6371000     		du = 1017.28446480354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14118610)-sin(-1.14134581))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416516480278439-0.416371278107611)×R²
    abs(1.66858760-1.66820411)×0.000145202170827585×R²
    0.000383489999999931×0.000145202170827585×6371000²
    0.000383489999999931×0.000145202170827585×40589641000000     		ar = 1035280.05603563m²