Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12541 / 14540
↖ ↑ ↗
← N 19.849394°
W 42.220459°		 ← 1 149.06 m → N 19.849394°
W 42.209472°		 →
↑
1 149.07 m
↓
↑
1 149.07 m
↓
N 19.839060°
W 42.220459°		 ← 1 149.13 m →
1 320 397 m²		 N 19.839060°
W 42.209472°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382736206054688 y=0.443740844726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382736206054688 × 215)
    floor (0.382736206054688 × 32768)
    floor (12541.5)     		tx = 12541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443740844726562 × 215)
    floor (0.443740844726562 × 32768)
    floor (14540.5)     		ty = 14540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12541 / 14540 ti = "15/12541/14540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12541/14540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12541 ÷ 215
    12541 ÷ 32768     		x = 0.382720947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14540 ÷ 215
    14540 ÷ 32768     		y = 0.4437255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382720947265625 × 2 - 1) × π
    -0.23455810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73688602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4437255859375 × 2 - 1) × π
    0.112548828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.353582571597534
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73688602} λ = -0.73688602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.353582571597534))-π/2
    2×atan(1.4241605773105)-π/2
    2×0.958616802942669-π/2
    1.91723360588534-1.57079632675     		φ = 0.34643728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73688602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.220459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34643728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.849394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12541 KachelY 14540 -0.73688602 0.34643728 -42.220459 19.849394
    Oben rechts KachelX + 1 12542 KachelY 14540 -0.73669427 0.34643728 -42.209472 19.849394
    Unten links KachelX 12541 KachelY + 1 14541 -0.73688602 0.34625692 -42.220459 19.839060
    Unten rechts KachelX + 1 12542 KachelY + 1 14541 -0.73669427 0.34625692 -42.209472 19.839060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34643728-0.34625692) × R
    0.000180359999999991 × 6371000     		dl = 1149.07355999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34643728-0.34625692) × R
    0.000180359999999991 × 6371000     		dr = 1149.07355999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73688602--0.73669427) × cos(0.34643728) × R
    0.000191750000000046 × 0.940588397429256 × 6371000     		do = 1149.05970439445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73688602--0.73669427) × cos(0.34625692) × R
    0.000191750000000046 × 0.940649623172941 × 6371000     		du = 1149.13450016605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34643728)-sin(0.34625692))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940588397429256-0.940649623172941)×R²
    abs(-0.73669427--0.73688602)×6.1225743684945e-05×R²
    0.000191750000000046×6.1225743684945e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.1225743684945e-05×40589641000000     		ar = 1320397.10168214m²