Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12541 / 12694
↖ ↑ ↗
← S 69.824471°
E 95.559082°		 ← 842.68 m → S 69.824471°
E 95.581055°		 →
↑
842.56 m
↓
↑
842.56 m
↓
S 69.832048°
E 95.559082°		 ← 842.38 m →
709 885 m²		 S 69.832048°
E 95.581055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765472412109375 y=0.774810791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765472412109375 × 214)
    floor (0.765472412109375 × 16384)
    floor (12541.5)     		tx = 12541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774810791015625 × 214)
    floor (0.774810791015625 × 16384)
    floor (12694.5)     		ty = 12694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12541 / 12694 ti = "14/12541/12694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12541/12694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12541 ÷ 214
    12541 ÷ 16384     		x = 0.76544189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12694 ÷ 214
    12694 ÷ 16384     		y = 0.7747802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76544189453125 × 2 - 1) × π
    0.5308837890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66782061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7747802734375 × 2 - 1) × π
    -0.549560546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72649537671594
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66782061} λ = 1.66782061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72649537671594))-π/2
    2×atan(0.177906815051578)-π/2
    2×0.176064706672074-π/2
    0.352129413344148-1.57079632675     		φ = -1.21866691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66782061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.559082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21866691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.824471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12541 KachelY 12694 1.66782061 -1.21866691 95.559082 -69.824471
    Oben rechts KachelX + 1 12542 KachelY 12694 1.66820411 -1.21866691 95.581055 -69.824471
    Unten links KachelX 12541 KachelY + 1 12695 1.66782061 -1.21879916 95.559082 -69.832048
    Unten rechts KachelX + 1 12542 KachelY + 1 12695 1.66820411 -1.21879916 95.581055 -69.832048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21866691--1.21879916) × R
    0.000132250000000056 × 6371000     		dl = 842.564750000356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21866691--1.21879916) × R
    0.000132250000000056 × 6371000     		dr = 842.564750000356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66782061-1.66820411) × cos(-1.21866691) × R
    0.000383500000000092 × 0.344897344554807 × 6371000     		do = 842.680266658054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66782061-1.66820411) × cos(-1.21879916) × R
    0.000383500000000092 × 0.344773206344636 × 6371000     		du = 842.376962438116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21866691)-sin(-1.21879916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344897344554807-0.344773206344636)×R²
    abs(1.66820411-1.66782061)×0.00012413821017021×R²
    0.000383500000000092×0.00012413821017021×6371000²
    0.000383500000000092×0.00012413821017021×40589641000000     		ar = 709884.912519434m²