Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12538 / 14549
↖ ↑ ↗
← N 19.756364°
W 42.253418°		 ← 1 149.67 m → N 19.756364°
W 42.242432°		 →
↑
1 149.71 m
↓
↑
1 149.71 m
↓
N 19.746024°
W 42.253418°		 ← 1 149.75 m →
1 321 833 m²		 N 19.746024°
W 42.242432°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382644653320312 y=0.444015502929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382644653320312 × 215)
    floor (0.382644653320312 × 32768)
    floor (12538.5)     		tx = 12538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444015502929688 × 215)
    floor (0.444015502929688 × 32768)
    floor (14549.5)     		ty = 14549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12538 / 14549 ti = "15/12538/14549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12538/14549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12538 ÷ 215
    12538 ÷ 32768     		x = 0.38262939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14549 ÷ 215
    14549 ÷ 32768     		y = 0.444000244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38262939453125 × 2 - 1) × π
    -0.2347412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73746126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444000244140625 × 2 - 1) × π
    0.11199951171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.351856843211212
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73746126} λ = -0.73746126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.351856843211212))-π/2
    2×atan(1.42170498242988)-π/2
    2×0.957804965417649-π/2
    1.9156099308353-1.57079632675     		φ = 0.34481360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73746126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.253418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34481360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.756364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12538 KachelY 14549 -0.73746126 0.34481360 -42.253418 19.756364
    Oben rechts KachelX + 1 12539 KachelY 14549 -0.73726952 0.34481360 -42.242432 19.756364
    Unten links KachelX 12538 KachelY + 1 14550 -0.73746126 0.34463314 -42.253418 19.746024
    Unten rechts KachelX + 1 12539 KachelY + 1 14550 -0.73726952 0.34463314 -42.242432 19.746024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34481360-0.34463314) × R
    0.000180459999999993 × 6371000     		dl = 1149.71065999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34481360-0.34463314) × R
    0.000180459999999993 × 6371000     		dr = 1149.71065999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73746126--0.73726952) × cos(0.34481360) × R
    0.000191739999999996 × 0.941138476117973 × 6371000     		do = 1149.67174217856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73746126--0.73726952) × cos(0.34463314) × R
    0.000191739999999996 × 0.941199460108833 × 6371000     		du = 1149.74623873013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34481360)-sin(0.34463314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941138476117973-0.941199460108833)×R²
    abs(-0.73726952--0.73746126)×6.09839908607412e-05×R²
    0.000191739999999996×6.09839908607412e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.09839908607412e-05×40589641000000     		ar = 1321832.68581012m²