Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12538 / 12754
↖ ↑ ↗
← S 70.274289°
E 95.493164°		 ← 824.63 m → S 70.274289°
E 95.515137°		 →
↑
824.53 m
↓
↑
824.53 m
↓
S 70.281705°
E 95.493164°		 ← 824.33 m →
679 812 m²		 S 70.281705°
E 95.515137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765289306640625 y=0.778472900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765289306640625 × 214)
    floor (0.765289306640625 × 16384)
    floor (12538.5)     		tx = 12538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778472900390625 × 214)
    floor (0.778472900390625 × 16384)
    floor (12754.5)     		ty = 12754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12538 / 12754 ti = "14/12538/12754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12538/12754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12538 ÷ 214
    12538 ÷ 16384     		x = 0.7652587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12754 ÷ 214
    12754 ÷ 16384     		y = 0.7784423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7652587890625 × 2 - 1) × π
    0.530517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66667013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7784423828125 × 2 - 1) × π
    -0.556884765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.74950508853357
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66667013} λ = 1.66667013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74950508853357))-π/2
    2×atan(0.173859967453002)-π/2
    2×0.172139296231379-π/2
    0.344278592462757-1.57079632675     		φ = -1.22651773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66667013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.493164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22651773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.274289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12538 KachelY 12754 1.66667013 -1.22651773 95.493164 -70.274289
    Oben rechts KachelX + 1 12539 KachelY 12754 1.66705362 -1.22651773 95.515137 -70.274289
    Unten links KachelX 12538 KachelY + 1 12755 1.66667013 -1.22664715 95.493164 -70.281705
    Unten rechts KachelX + 1 12539 KachelY + 1 12755 1.66705362 -1.22664715 95.515137 -70.281705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22651773--1.22664715) × R
    0.000129419999999936 × 6371000     		dl = 824.53481999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22651773--1.22664715) × R
    0.000129419999999936 × 6371000     		dr = 824.53481999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66667013-1.66705362) × cos(-1.22651773) × R
    0.000383489999999931 × 0.337517694456332 × 6371000     		do = 824.628222982261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66667013-1.66705362) × cos(-1.22664715) × R
    0.000383489999999931 × 0.337395866101262 × 6371000     		du = 824.330570143315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22651773)-sin(-1.22664715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337517694456332-0.337395866101262)×R²
    abs(1.66705362-1.66667013)×0.000121828355069242×R²
    0.000383489999999931×0.000121828355069242×6371000²
    0.000383489999999931×0.000121828355069242×40589641000000     		ar = 679811.971787742m²