Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12536 / 12104
↖ ↑ ↗
← S 64.848937°
E 95.449219°		 ← 1 038.38 m → S 64.848937°
E 95.471191°		 →
↑
1 038.22 m
↓
↑
1 038.22 m
↓
S 64.858274°
E 95.449219°		 ← 1 038.02 m →
1 077 880 m²		 S 64.858274°
E 95.471191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765167236328125 y=0.738800048828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765167236328125 × 214)
    floor (0.765167236328125 × 16384)
    floor (12536.5)     		tx = 12536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738800048828125 × 214)
    floor (0.738800048828125 × 16384)
    floor (12104.5)     		ty = 12104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12536 / 12104 ti = "14/12536/12104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12536/12104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12536 ÷ 214
    12536 ÷ 16384     		x = 0.76513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12104 ÷ 214
    12104 ÷ 16384     		y = 0.73876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76513671875 × 2 - 1) × π
    0.5302734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66590314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73876953125 × 2 - 1) × π
    -0.4775390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.50023321050928
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66590314} λ = 1.66590314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50023321050928))-π/2
    2×atan(0.223078129917381)-π/2
    2×0.219484427572209-π/2
    0.438968855144417-1.57079632675     		φ = -1.13182747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66590314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.449219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13182747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.848937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12536 KachelY 12104 1.66590314 -1.13182747 95.449219 -64.848937
    Oben rechts KachelX + 1 12537 KachelY 12104 1.66628663 -1.13182747 95.471191 -64.848937
    Unten links KachelX 12536 KachelY + 1 12105 1.66590314 -1.13199043 95.449219 -64.858274
    Unten rechts KachelX + 1 12537 KachelY + 1 12105 1.66628663 -1.13199043 95.471191 -64.858274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13182747--1.13199043) × R
    0.000162960000000156 × 6371000     		dl = 1038.218160001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13182747--1.13199043) × R
    0.000162960000000156 × 6371000     		dr = 1038.218160001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66590314-1.66628663) × cos(-1.13182747) × R
    0.000383490000000153 × 0.425006310260096 × 6371000     		do = 1038.38170307121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66590314-1.66628663) × cos(-1.13199043) × R
    0.000383490000000153 × 0.424858794792101 × 6371000     		du = 1038.02129109805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13182747)-sin(-1.13199043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425006310260096-0.424858794792101)×R²
    abs(1.66628663-1.66590314)×0.000147515467995352×R²
    0.000383490000000153×0.000147515467995352×6371000²
    0.000383490000000153×0.000147515467995352×40589641000000     		ar = 1077879.65039903m²