Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12535 / 12468
↖ ↑ ↗
← S 68.040461°
E 95.427246°		 ← 913.67 m → S 68.040461°
E 95.449219°		 →
↑
913.54 m
↓
↑
913.54 m
↓
S 68.048677°
E 95.427246°		 ← 913.34 m →
834 522 m²		 S 68.048677°
E 95.449219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765106201171875 y=0.761016845703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765106201171875 × 214)
    floor (0.765106201171875 × 16384)
    floor (12535.5)     		tx = 12535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761016845703125 × 214)
    floor (0.761016845703125 × 16384)
    floor (12468.5)     		ty = 12468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12535 / 12468 ti = "14/12535/12468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12535/12468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12535 ÷ 214
    12535 ÷ 16384     		x = 0.76507568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12468 ÷ 214
    12468 ÷ 16384     		y = 0.760986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76507568359375 × 2 - 1) × π
    0.5301513671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66551964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760986328125 × 2 - 1) × π
    -0.52197265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.63982546220288
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66551964} λ = 1.66551964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63982546220288))-π/2
    2×atan(0.19401390209498)-π/2
    2×0.191633126633191-π/2
    0.383266253266382-1.57079632675     		φ = -1.18753007
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66551964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.427246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18753007 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.040461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12535 KachelY 12468 1.66551964 -1.18753007 95.427246 -68.040461
    Oben rechts KachelX + 1 12536 KachelY 12468 1.66590314 -1.18753007 95.449219 -68.040461
    Unten links KachelX 12535 KachelY + 1 12469 1.66551964 -1.18767346 95.427246 -68.048677
    Unten rechts KachelX + 1 12536 KachelY + 1 12469 1.66590314 -1.18767346 95.449219 -68.048677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18753007--1.18767346) × R
    0.000143390000000077 × 6371000     		dl = 913.537690000487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18753007--1.18767346) × R
    0.000143390000000077 × 6371000     		dr = 913.537690000487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66551964-1.66590314) × cos(-1.18753007) × R
    0.00038349999999987 × 0.373951742627355 × 6371000     		do = 913.668252798639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66551964-1.66590314) × cos(-1.18767346) × R
    0.00038349999999987 × 0.373818751991431 × 6371000     		du = 913.343319637187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18753007)-sin(-1.18767346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373951742627355-0.373818751991431)×R²
    abs(1.66590314-1.66551964)×0.000132990635923314×R²
    0.00038349999999987×0.000132990635923314×6371000²
    0.00038349999999987×0.000132990635923314×40589641000000     		ar = 834521.967173626m²