Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12535 / 12086
↖ ↑ ↗
← S 64.680318°
E 95.427246°		 ← 1 044.91 m → S 64.680318°
E 95.449219°		 →
↑
1 044.72 m
↓
↑
1 044.72 m
↓
S 64.689713°
E 95.427246°		 ← 1 044.55 m →
1 091 449 m²		 S 64.689713°
E 95.449219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765106201171875 y=0.737701416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765106201171875 × 214)
    floor (0.765106201171875 × 16384)
    floor (12535.5)     		tx = 12535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737701416015625 × 214)
    floor (0.737701416015625 × 16384)
    floor (12086.5)     		ty = 12086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12535 / 12086 ti = "14/12535/12086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12535/12086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12535 ÷ 214
    12535 ÷ 16384     		x = 0.76507568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12086 ÷ 214
    12086 ÷ 16384     		y = 0.7376708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76507568359375 × 2 - 1) × π
    0.5301513671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66551964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7376708984375 × 2 - 1) × π
    -0.475341796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.49333029696399
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66551964} λ = 1.66551964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49333029696399))-π/2
    2×atan(0.224623346072992)-π/2
    2×0.220955908812459-π/2
    0.441911817624918-1.57079632675     		φ = -1.12888451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66551964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.427246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12888451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.680318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12535 KachelY 12086 1.66551964 -1.12888451 95.427246 -64.680318
    Oben rechts KachelX + 1 12536 KachelY 12086 1.66590314 -1.12888451 95.449219 -64.680318
    Unten links KachelX 12535 KachelY + 1 12087 1.66551964 -1.12904849 95.427246 -64.689713
    Unten rechts KachelX + 1 12536 KachelY + 1 12087 1.66590314 -1.12904849 95.449219 -64.689713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12888451--1.12904849) × R
    0.000163979999999952 × 6371000     		dl = 1044.7165799997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12888451--1.12904849) × R
    0.000163979999999952 × 6371000     		dr = 1044.7165799997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66551964-1.66590314) × cos(-1.12888451) × R
    0.00038349999999987 × 0.427668405023864 × 6371000     		do = 1044.91301912375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66551964-1.66590314) × cos(-1.12904849) × R
    0.00038349999999987 × 0.427520171899866 × 6371000     		du = 1044.55084431889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12888451)-sin(-1.12904849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427668405023864-0.427520171899866)×R²
    abs(1.66590314-1.66551964)×0.000148233123998476×R²
    0.00038349999999987×0.000148233123998476×6371000²
    0.00038349999999987×0.000148233123998476×40589641000000     		ar = 1091448.77317048m²