Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12533 / 12179
↖ ↑ ↗
← S 65.540270°
E 95.383301°		 ← 1 011.65 m → S 65.540270°
E 95.405274°		 →
↑
1 011.46 m
↓
↑
1 011.46 m
↓
S 65.549367°
E 95.383301°		 ← 1 011.30 m →
1 023 063 m²		 S 65.549367°
E 95.405274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764984130859375 y=0.743377685546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764984130859375 × 214)
    floor (0.764984130859375 × 16384)
    floor (12533.5)     		tx = 12533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743377685546875 × 214)
    floor (0.743377685546875 × 16384)
    floor (12179.5)     		ty = 12179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12533 / 12179 ti = "14/12533/12179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12533/12179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12533 ÷ 214
    12533 ÷ 16384     		x = 0.76495361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12179 ÷ 214
    12179 ÷ 16384     		y = 0.74334716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76495361328125 × 2 - 1) × π
    0.5299072265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66475265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74334716796875 × 2 - 1) × π
    -0.4866943359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.52899535028131
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66475265} λ = 1.66475265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52899535028131))-π/2
    2×atan(0.216753319126871)-π/2
    2×0.213451407676348-π/2
    0.426902815352695-1.57079632675     		φ = -1.14389351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66475265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.383301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14389351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.540270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12533 KachelY 12179 1.66475265 -1.14389351 95.383301 -65.540270
    Oben rechts KachelX + 1 12534 KachelY 12179 1.66513615 -1.14389351 95.405274 -65.540270
    Unten links KachelX 12533 KachelY + 1 12180 1.66475265 -1.14405227 95.383301 -65.549367
    Unten rechts KachelX + 1 12534 KachelY + 1 12180 1.66513615 -1.14405227 95.405274 -65.549367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14389351--1.14405227) × R
    0.000158759999999925 × 6371000     		dl = 1011.45995999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14389351--1.14405227) × R
    0.000158759999999925 × 6371000     		dr = 1011.45995999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66475265-1.66513615) × cos(-1.14389351) × R
    0.00038349999999987 × 0.414053574052058 × 6371000     		do = 1011.64819532921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66475265-1.66513615) × cos(-1.14405227) × R
    0.00038349999999987 × 0.413909057145611 × 6371000     		du = 1011.2951002788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14389351)-sin(-1.14405227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414053574052058-0.413909057145611)×R²
    abs(1.66513615-1.66475265)×0.00014451690644679×R²
    0.00038349999999987×0.00014451690644679×6371000²
    0.00038349999999987×0.00014451690644679×40589641000000     		ar = 1023063.07457804m²