Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12531 / 12738
↖ ↑ ↗
← S 70.155288°
E 95.339355°		 ← 829.40 m → S 70.155288°
E 95.361328°		 →
↑
829.25 m
↓
↑
829.25 m
↓
S 70.162745°
E 95.339355°		 ← 829.10 m →
687 658 m²		 S 70.162745°
E 95.361328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764862060546875 y=0.777496337890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764862060546875 × 214)
    floor (0.764862060546875 × 16384)
    floor (12531.5)     		tx = 12531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777496337890625 × 214)
    floor (0.777496337890625 × 16384)
    floor (12738.5)     		ty = 12738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12531 / 12738 ti = "14/12531/12738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12531/12738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12531 ÷ 214
    12531 ÷ 16384     		x = 0.76483154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12738 ÷ 214
    12738 ÷ 16384     		y = 0.7774658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76483154296875 × 2 - 1) × π
    0.5296630859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66398566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7774658203125 × 2 - 1) × π
    -0.554931640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7433691653822
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66398566} λ = 1.66398566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7433691653822))-π/2
    2×atan(0.174930038431733)-π/2
    2×0.173177782984299-π/2
    0.346355565968599-1.57079632675     		φ = -1.22444076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66398566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.339355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22444076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.155288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12531 KachelY 12738 1.66398566 -1.22444076 95.339355 -70.155288
    Oben rechts KachelX + 1 12532 KachelY 12738 1.66436915 -1.22444076 95.361328 -70.155288
    Unten links KachelX 12531 KachelY + 1 12739 1.66398566 -1.22457092 95.339355 -70.162745
    Unten rechts KachelX + 1 12532 KachelY + 1 12739 1.66436915 -1.22457092 95.361328 -70.162745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22444076--1.22457092) × R
    0.000130159999999879 × 6371000     		dl = 829.249359999231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22444076--1.22457092) × R
    0.000130159999999879 × 6371000     		dr = 829.249359999231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66398566-1.66436915) × cos(-1.22444076) × R
    0.000383489999999931 × 0.339472056763622 × 6371000     		do = 829.403149876452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66398566-1.66436915) × cos(-1.22457092) × R
    0.000383489999999931 × 0.339349623291592 × 6371000     		du = 829.104018606797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22444076)-sin(-1.22457092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339472056763622-0.339349623291592)×R²
    abs(1.66436915-1.66398566)×0.000122433472030337×R²
    0.000383489999999931×0.000122433472030337×6371000²
    0.000383489999999931×0.000122433472030337×40589641000000     		ar = 687658.004981887m²