Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12530 / 14546
↖ ↑ ↗
← N 19.787380°
W 42.341308°		 ← 1 149.45 m → N 19.787380°
W 42.330322°		 →
↑
1 149.52 m
↓
↑
1 149.52 m
↓
N 19.777042°
W 42.341308°		 ← 1 149.52 m →
1 321 356 m²		 N 19.777042°
W 42.330322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382400512695312 y=0.443923950195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382400512695312 × 215)
    floor (0.382400512695312 × 32768)
    floor (12530.5)     		tx = 12530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443923950195312 × 215)
    floor (0.443923950195312 × 32768)
    floor (14546.5)     		ty = 14546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12530 / 14546 ti = "15/12530/14546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12530/14546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12530 ÷ 215
    12530 ÷ 32768     		x = 0.38238525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14546 ÷ 215
    14546 ÷ 32768     		y = 0.44390869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38238525390625 × 2 - 1) × π
    -0.2352294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73899524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44390869140625 × 2 - 1) × π
    0.1121826171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.352432086006653
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73899524} λ = -0.73899524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.352432086006653))-π/2
    2×atan(1.4225230432475)-π/2
    2×0.958075630652476-π/2
    1.91615126130495-1.57079632675     		φ = 0.34535493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73899524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.341308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34535493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.787380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12530 KachelY 14546 -0.73899524 0.34535493 -42.341308 19.787380
    Oben rechts KachelX + 1 12531 KachelY 14546 -0.73880350 0.34535493 -42.330322 19.787380
    Unten links KachelX 12530 KachelY + 1 14547 -0.73899524 0.34517450 -42.341308 19.777042
    Unten rechts KachelX + 1 12531 KachelY + 1 14547 -0.73880350 0.34517450 -42.330322 19.777042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34535493-0.34517450) × R
    0.000180430000000009 × 6371000     		dl = 1149.51953000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34535493-0.34517450) × R
    0.000180430000000009 × 6371000     		dr = 1149.51953000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73899524--0.73880350) × cos(0.34535493) × R
    0.000191740000000107 × 0.940955357186245 × 6371000     		do = 1149.44804857132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73899524--0.73880350) × cos(0.34517450) × R
    0.000191740000000107 × 0.941016422958641 × 6371000     		du = 1149.52264502521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34535493)-sin(0.34517450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940955357186245-0.941016422958641)×R²
    abs(-0.73880350--0.73899524)×6.10657723966179e-05×R²
    0.000191740000000107×6.10657723966179e-05×6371000²
    0.000191740000000107×6.10657723966179e-05×40589641000000     		ar = 1321355.85917823m²