Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12530 / 12692
↖ ↑ ↗
← S 69.809309°
E 95.317383°		 ← 843.29 m → S 69.809309°
E 95.339355°		 →
↑
843.07 m
↓
↑
843.07 m
↓
S 69.816891°
E 95.317383°		 ← 842.98 m →
710 826 m²		 S 69.816891°
E 95.339355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12692 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764801025390625 y=0.774688720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764801025390625 × 214)
    floor (0.764801025390625 × 16384)
    floor (12530.5)     		tx = 12530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774688720703125 × 214)
    floor (0.774688720703125 × 16384)
    floor (12692.5)     		ty = 12692
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12530 / 12692 ti = "14/12530/12692"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12530/12692.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12530 ÷ 214
    12530 ÷ 16384     		x = 0.7647705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12692 ÷ 214
    12692 ÷ 16384     		y = 0.774658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7647705078125 × 2 - 1) × π
    0.529541015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66360216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774658203125 × 2 - 1) × π
    -0.54931640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.72572838632202
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66360216} λ = 1.66360216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72572838632202))-π/2
    2×atan(0.178043320212117)-π/2
    2×0.176197020766978-π/2
    0.352394041533956-1.57079632675     		φ = -1.21840229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66360216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.317383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21840229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.809309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12530 KachelY 12692 1.66360216 -1.21840229 95.317383 -69.809309
    Oben rechts KachelX + 1 12531 KachelY 12692 1.66398566 -1.21840229 95.339355 -69.809309
    Unten links KachelX 12530 KachelY + 1 12693 1.66360216 -1.21853462 95.317383 -69.816891
    Unten rechts KachelX + 1 12531 KachelY + 1 12693 1.66398566 -1.21853462 95.339355 -69.816891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21840229--1.21853462) × R
    0.000132330000000014 × 6371000     		dl = 843.074430000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21840229--1.21853462) × R
    0.000132330000000014 × 6371000     		dr = 843.074430000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66360216-1.66398566) × cos(-1.21840229) × R
    0.000383500000000092 × 0.345145715502044 × 6371000     		do = 843.287106053462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66360216-1.66398566) × cos(-1.21853462) × R
    0.000383500000000092 × 0.345021514276492 × 6371000     		du = 842.983647869399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21840229)-sin(-1.21853462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345145715502044-0.345021514276492)×R²
    abs(1.66398566-1.66360216)×0.000124201225551457×R²
    0.000383500000000092×0.000124201225551457×6371000²
    0.000383500000000092×0.000124201225551457×40589641000000     		ar = 710825.878381951m²