Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12530 / 12205
↖ ↑ ↗
← S 65.775744°
E 95.317383°		 ← 1 002.50 m → S 65.775744°
E 95.339355°		 →
↑
1 002.29 m
↓
↑
1 002.29 m
↓
S 65.784758°
E 95.317383°		 ← 1 002.15 m →
1 004 615 m²		 S 65.784758°
E 95.339355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764801025390625 y=0.744964599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764801025390625 × 214)
    floor (0.764801025390625 × 16384)
    floor (12530.5)     		tx = 12530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744964599609375 × 214)
    floor (0.744964599609375 × 16384)
    floor (12205.5)     		ty = 12205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12530 / 12205 ti = "14/12530/12205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12530/12205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12530 ÷ 214
    12530 ÷ 16384     		x = 0.7647705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12205 ÷ 214
    12205 ÷ 16384     		y = 0.74493408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7647705078125 × 2 - 1) × π
    0.529541015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66360216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74493408203125 × 2 - 1) × π
    -0.4898681640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.53896622540228
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66360216} λ = 1.66360216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53896622540228))-π/2
    2×atan(0.214602837756809)-π/2
    2×0.211396514492515-π/2
    0.42279302898503-1.57079632675     		φ = -1.14800330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66360216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.317383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14800330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.775744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12530 KachelY 12205 1.66360216 -1.14800330 95.317383 -65.775744
    Oben rechts KachelX + 1 12531 KachelY 12205 1.66398566 -1.14800330 95.339355 -65.775744
    Unten links KachelX 12530 KachelY + 1 12206 1.66360216 -1.14816062 95.317383 -65.784758
    Unten rechts KachelX + 1 12531 KachelY + 1 12206 1.66398566 -1.14816062 95.339355 -65.784758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14800330--1.14816062) × R
    0.000157320000000016 × 6371000     		dl = 1002.2857200001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14800330--1.14816062) × R
    0.000157320000000016 × 6371000     		dr = 1002.2857200001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66360216-1.66398566) × cos(-1.14800330) × R
    0.000383500000000092 × 0.410309141151853 × 6371000     		do = 1002.49950293003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66360216-1.66398566) × cos(-1.14816062) × R
    0.000383500000000092 × 0.410165668652453 × 6371000     		du = 1002.1489596569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14800330)-sin(-1.14816062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410309141151853-0.410165668652453)×R²
    abs(1.66398566-1.66360216)×0.000143472499400554×R²
    0.000383500000000092×0.000143472499400554×6371000²
    0.000383500000000092×0.000143472499400554×40589641000000     		ar = 1004615.26590681m²