Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12530 / 12204
↖ ↑ ↗
← S 65.766727°
E 95.317383°		 ← 1 002.85 m → S 65.766727°
E 95.339355°		 →
↑
1 002.67 m
↓
↑
1 002.67 m
↓
S 65.775744°
E 95.317383°		 ← 1 002.50 m →
1 005 350 m²		 S 65.775744°
E 95.339355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764801025390625 y=0.744903564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764801025390625 × 214)
    floor (0.764801025390625 × 16384)
    floor (12530.5)     		tx = 12530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744903564453125 × 214)
    floor (0.744903564453125 × 16384)
    floor (12204.5)     		ty = 12204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12530 / 12204 ti = "14/12530/12204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12530/12204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12530 ÷ 214
    12530 ÷ 16384     		x = 0.7647705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12204 ÷ 214
    12204 ÷ 16384     		y = 0.744873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7647705078125 × 2 - 1) × π
    0.529541015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66360216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744873046875 × 2 - 1) × π
    -0.48974609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.53858273020532
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66360216} λ = 1.66360216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53858273020532))-π/2
    2×atan(0.214685152697026)-π/2
    2×0.211475204044156-π/2
    0.422950408088311-1.57079632675     		φ = -1.14784592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66360216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.317383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14784592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.766727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12530 KachelY 12204 1.66360216 -1.14784592 95.317383 -65.766727
    Oben rechts KachelX + 1 12531 KachelY 12204 1.66398566 -1.14784592 95.339355 -65.766727
    Unten links KachelX 12530 KachelY + 1 12205 1.66360216 -1.14800330 95.317383 -65.775744
    Unten rechts KachelX + 1 12531 KachelY + 1 12205 1.66398566 -1.14800330 95.339355 -65.775744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14784592--1.14800330) × R
    0.000157380000000096 × 6371000     		dl = 1002.66798000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14784592--1.14800330) × R
    0.000157380000000096 × 6371000     		dr = 1002.66798000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66360216-1.66398566) × cos(-1.14784592) × R
    0.000383500000000092 × 0.410452658209189 × 6371000     		do = 1002.8501550706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66360216-1.66398566) × cos(-1.14800330) × R
    0.000383500000000092 × 0.410309141151853 × 6371000     		du = 1002.49950293003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14784592)-sin(-1.14800330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410452658209189-0.410309141151853)×R²
    abs(1.66398566-1.66360216)×0.000143517057335951×R²
    0.000383500000000092×0.000143517057335951×6371000²
    0.000383500000000092×0.000143517057335951×40589641000000     		ar = 1005349.94746698m²