Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12529 / 12693
↖ ↑ ↗
← S 69.816891°
E 95.295410°		 ← 842.96 m → S 69.816891°
E 95.317383°		 →
↑
842.82 m
↓
↑
842.82 m
↓
S 69.824471°
E 95.295410°		 ← 842.66 m →
710 337 m²		 S 69.824471°
E 95.317383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764739990234375 y=0.774749755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764739990234375 × 214)
    floor (0.764739990234375 × 16384)
    floor (12529.5)     		tx = 12529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774749755859375 × 214)
    floor (0.774749755859375 × 16384)
    floor (12693.5)     		ty = 12693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12529 / 12693 ti = "14/12529/12693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12529/12693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12529 ÷ 214
    12529 ÷ 16384     		x = 0.76470947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12693 ÷ 214
    12693 ÷ 16384     		y = 0.77471923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76470947265625 × 2 - 1) × π
    0.5294189453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66321867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77471923828125 × 2 - 1) × π
    -0.5494384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.72611188151898
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66321867} λ = 1.66321867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72611188151898))-π/2
    2×atan(0.177975054544579)-π/2
    2×0.176130851813024-π/2
    0.352261703626049-1.57079632675     		φ = -1.21853462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66321867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.295410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21853462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.816891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12529 KachelY 12693 1.66321867 -1.21853462 95.295410 -69.816891
    Oben rechts KachelX + 1 12530 KachelY 12693 1.66360216 -1.21853462 95.317383 -69.816891
    Unten links KachelX 12529 KachelY + 1 12694 1.66321867 -1.21866691 95.295410 -69.824471
    Unten rechts KachelX + 1 12530 KachelY + 1 12694 1.66360216 -1.21866691 95.317383 -69.824471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21853462--1.21866691) × R
    0.000132290000000035 × 6371000     		dl = 842.819590000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21853462--1.21866691) × R
    0.000132290000000035 × 6371000     		dr = 842.819590000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66321867-1.66360216) × cos(-1.21853462) × R
    0.000383489999999931 × 0.345021514276492 × 6371000     		do = 842.96166654837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66321867-1.66360216) × cos(-1.21866691) × R
    0.000383489999999931 × 0.344897344554807 × 6371000     		du = 842.658293247878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21853462)-sin(-1.21866691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345021514276492-0.344897344554807)×R²
    abs(1.66360216-1.66321867)×0.000124169721685441×R²
    0.000383489999999931×0.000124169721685441×6371000²
    0.000383489999999931×0.000124169721685441×40589641000000     		ar = 710336.762740952m²