Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12529 / 12202
↖ ↑ ↗
← S 65.748683°
E 95.295410°		 ← 1 003.53 m → S 65.748683°
E 95.317383°		 →
↑
1 003.31 m
↓
↑
1 003.31 m
↓
S 65.757706°
E 95.295410°		 ← 1 003.17 m →
1 006 666 m²		 S 65.757706°
E 95.317383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764739990234375 y=0.744781494140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764739990234375 × 214)
    floor (0.764739990234375 × 16384)
    floor (12529.5)     		tx = 12529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744781494140625 × 214)
    floor (0.744781494140625 × 16384)
    floor (12202.5)     		ty = 12202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12529 / 12202 ti = "14/12529/12202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12529/12202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12529 ÷ 214
    12529 ÷ 16384     		x = 0.76470947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12202 ÷ 214
    12202 ÷ 16384     		y = 0.7447509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76470947265625 × 2 - 1) × π
    0.5294189453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66321867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7447509765625 × 2 - 1) × π
    -0.489501953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5378157398114
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66321867} λ = 1.66321867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5378157398114))-π/2
    2×atan(0.214849877309885)-π/2
    2×0.211632665723307-π/2
    0.423265331446614-1.57079632675     		φ = -1.14753100
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66321867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.295410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14753100 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.748683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12529 KachelY 12202 1.66321867 -1.14753100 95.295410 -65.748683
    Oben rechts KachelX + 1 12530 KachelY 12202 1.66360216 -1.14753100 95.317383 -65.748683
    Unten links KachelX 12529 KachelY + 1 12203 1.66321867 -1.14768848 95.295410 -65.757706
    Unten rechts KachelX + 1 12530 KachelY + 1 12203 1.66360216 -1.14768848 95.317383 -65.757706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14753100--1.14768848) × R
    0.000157479999999932 × 6371000     		dl = 1003.30507999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14753100--1.14768848) × R
    0.000157479999999932 × 6371000     		dr = 1003.30507999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66321867-1.66360216) × cos(-1.14753100) × R
    0.000383489999999931 × 0.410739807701882 × 6371000     		do = 1003.52557301881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66321867-1.66360216) × cos(-1.14768848) × R
    0.000383489999999931 × 0.41059621980928 × 6371000     		du = 1003.17475695594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14753100)-sin(-1.14768848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410739807701882-0.41059621980928)×R²
    abs(1.66360216-1.66321867)×0.000143587892601882×R²
    0.000383489999999931×0.000143587892601882×6371000²
    0.000383489999999931×0.000143587892601882×40589641000000     		ar = 1006666.3196295m²