Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12528 / 14544
↖ ↑ ↗
← N 19.808054°
W 42.363281°		 ← 1 149.36 m → N 19.808054°
W 42.352295°		 →
↑
1 149.39 m
↓
↑
1 149.39 m
↓
N 19.797717°
W 42.363281°		 ← 1 149.43 m →
1 321 107 m²		 N 19.797717°
W 42.352295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382339477539062 y=0.443862915039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382339477539062 × 215)
    floor (0.382339477539062 × 32768)
    floor (12528.5)     		tx = 12528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443862915039062 × 215)
    floor (0.443862915039062 × 32768)
    floor (14544.5)     		ty = 14544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12528 / 14544 ti = "15/12528/14544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12528/14544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12528 ÷ 215
    12528 ÷ 32768     		x = 0.38232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14544 ÷ 215
    14544 ÷ 32768     		y = 0.44384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38232421875 × 2 - 1) × π
    -0.2353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.73937874
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44384765625 × 2 - 1) × π
    0.1123046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.352815581203613
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73937874} λ = -0.73937874}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.352815581203613))-π/2
    2×atan(1.42306867861974)-π/2
    2×0.958256044866905-π/2
    1.91651208973381-1.57079632675     		φ = 0.34571576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73937874} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.363281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34571576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.808054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12528 KachelY 14544 -0.73937874 0.34571576 -42.363281 19.808054
    Oben rechts KachelX + 1 12529 KachelY 14544 -0.73918699 0.34571576 -42.352295 19.808054
    Unten links KachelX 12528 KachelY + 1 14545 -0.73937874 0.34553535 -42.363281 19.797717
    Unten rechts KachelX + 1 12529 KachelY + 1 14545 -0.73918699 0.34553535 -42.352295 19.797717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34571576-0.34553535) × R
    0.000180409999999964 × 6371000     		dl = 1149.39210999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34571576-0.34553535) × R
    0.000180409999999964 × 6371000     		dr = 1149.39210999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73937874--0.73918699) × cos(0.34571576) × R
    0.000191750000000046 × 0.940833143911184 × 6371000     		do = 1149.35869630308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73937874--0.73918699) × cos(0.34553535) × R
    0.000191750000000046 × 0.940894264168065 × 6371000     		du = 1149.43336320785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34571576)-sin(0.34553535))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940833143911184-0.940894264168065)×R²
    abs(-0.73918699--0.73937874)×6.11202568810976e-05×R²
    0.000191750000000046×6.11202568810976e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.11202568810976e-05×40589641000000     		ar = 1321106.73144921m²