Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12528 / 12176
↖ ↑ ↗
← S 65.512963°
E 95.273437°		 ← 1 012.71 m → S 65.512963°
E 95.295410°		 →
↑
1 012.54 m
↓
↑
1 012.54 m
↓
S 65.522069°
E 95.273437°		 ← 1 012.35 m →
1 025 232 m²		 S 65.522069°
E 95.295410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764678955078125 y=0.743194580078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764678955078125 × 214)
    floor (0.764678955078125 × 16384)
    floor (12528.5)     		tx = 12528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743194580078125 × 214)
    floor (0.743194580078125 × 16384)
    floor (12176.5)     		ty = 12176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12528 / 12176 ti = "14/12528/12176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12528/12176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12528 ÷ 214
    12528 ÷ 16384     		x = 0.7646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12176 ÷ 214
    12176 ÷ 16384     		y = 0.7431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7646484375 × 2 - 1) × π
    0.529296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66283517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7431640625 × 2 - 1) × π
    -0.486328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.52784486469043
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66283517} λ = 1.66283517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52784486469043))-π/2
    2×atan(0.217002834201529)-π/2
    2×0.213689713761125-π/2
    0.42737942752225-1.57079632675     		φ = -1.14341690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66283517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.273437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14341690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.512963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12528 KachelY 12176 1.66283517 -1.14341690 95.273437 -65.512963
    Oben rechts KachelX + 1 12529 KachelY 12176 1.66321867 -1.14341690 95.295410 -65.512963
    Unten links KachelX 12528 KachelY + 1 12177 1.66283517 -1.14357583 95.273437 -65.522069
    Unten rechts KachelX + 1 12529 KachelY + 1 12177 1.66321867 -1.14357583 95.295410 -65.522069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14341690--1.14357583) × R
    0.000158930000000002 × 6371000     		dl = 1012.54303000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14341690--1.14357583) × R
    0.000158930000000002 × 6371000     		dr = 1012.54303000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66283517-1.66321867) × cos(-1.14341690) × R
    0.000383500000000092 × 0.414487362458354 × 6371000     		do = 1012.70806121645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66283517-1.66321867) × cos(-1.14357583) × R
    0.000383500000000092 × 0.414342722172328 × 6371000     		du = 1012.35466471537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14341690)-sin(-1.14357583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414487362458354-0.414342722172328)×R²
    abs(1.66321867-1.66283517)×0.000144640286026065×R²
    0.000383500000000092×0.000144640286026065×6371000²
    0.000383500000000092×0.000144640286026065×40589641000000     		ar = 1025231.57638625m²